Tôi gợi ý bạn nên dùng một công cụ như desmos hoặc mathematica hoặc maple, hoặc thậm chí máy tính đồ thị của bạn ở chế độ tham số để vẽ đường cong tham số trên các khoảng t khác nhau. Cứ thử nghiệm cho đến khi bạn hiểu giá trị t nào tương ứng với phần nào của đường cong.
Điều quan trọng nhất đối với những bài toán này, ngoài việc có thể thực sự tính toán tích phân, là có thể xem phần nào của đường cong đến từ giá trị t nào.
Nếu toàn bộ hình dạng trơn được vẽ chính xác một lần, mà không bao giờ đổi hướng hoặc quay lại chính nó, khi t chạy từ 0 đến 2pi, thì bạn nên có thể tích phân dạng độ dài cung thích hợp từ 0 đến 2pi. Hình dạng này không trơn tru ở các đỉnh/điểm nhọn đó- điều đó có thể gây ra vấn đề, mặc dù tôi không nhớ ngay bây giờ là nó có gây ra không.
Lập luận đối xứng chỉ để cho tiện. Bởi vì hình dạng đó rõ ràng là bốn phần đối xứng, nên dễ dàng hơn để tính độ dài của một phần và nhân với 4. Chỉ có vậy thôi.
Nếu các phương trình tham số (x(t), y(t)) vẽ đường cong trơn C chính xác một lần khi t chạy trên khoảng [a,b] mà không bao giờ cắt hoặc quay lại chính nó, thì tổng độ dài của đường cong C đó là tích phân của [(x'(t))2 + (y'(t))2]1/2 dt từ t=a đến t=b.
CHỈNH SỬA: Dường như không có vấn đề gì khi đường cong không trơn tru. Nếu bạn xem xét điều này:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+(cos%5E3(t),+sin%5E3(t))++t%3D0+to+t%3D2pi
trang wolfram alpha, nó sẽ hiển thị tích phân độ dài cung cho toàn bộ. Sau đó, dường như nếu bạn không nhận được kết quả khi bạn tích phân từ t=0 đến t=2pi, thì bạn có khả năng đang mắc lỗi ở đâu đó. Tôi sẽ xem xét thêm sau, nhưng nếu bạn gửi cho tôi một bức ảnh về bài làm của bạn dẫn đến câu trả lời sai, tôi có thể tìm ra lỗi cho bạn.
