Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu, giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: (I)
Trong đó x, y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I)
Giải hệ phương trình (I) ta tìm được tập nghiệm của nó.
B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương.
1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
2. Bài tập ví dụ
Hướng dẫn giải
Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được 2x + 8y = 12
Hệ phương trình trở thành
Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được
2x + 8y - (2x - 3y) = 12 - 1
=> 2x + 8y - 2x + 3y = 11
=> 11y = 11
=> y = 1
Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được x + 4 = 6, x = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)
* Ta có thể trình bày như sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
Nghiệm của phương trình là (x; y) = (m; n) = (2; 1)
Do đó, S = m2 + n2 = 22 + 12 = 5
Vậy S = 5
C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương
1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
2. Ví dụ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình
từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 - y
Thay x = 3 - y vào phương trình thứ hai ta được:
(3 - y)y - 2(3 - y) = -2
=> y2 - 5y + 4 = 0
=> y = 1 hoặc y = 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)
* Ta có thể trình bày bài như sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)
Hướng dẫn giải
a) Với m = 2 thay vào hệ phương trình ta có:
b) Từ phương trình (1) ta có: x = 2y + 5
Thay x = 2y + 5 vào phương trình (2) ta được:
m(2y + 5) - y = 4
<=> 2my + 5m - y =4
<=> (2m - 1).y = 4- 5m (3)
<=>
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất
=> 2m - 1 ≠ 0 => m ≠ 1/2
Ta có:
Để x, y trái dấu <=> xy < 0
<=>
<=> 4 - 5m < 0 <=> m > 4/5
Vậy m > 4/5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) trong đó x, y trái dấu.
c) Ta có: (4)
từ (4) suy ra 2m - 1 > 0 => m > 1/2
Với điều kiện m > 1/2 ta có:
(4) => |4 - 5m | = 3
=>
Vậy m = 7/5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|
Hướng dẫn giải
a) Cách 1: Từ phương trình (2) ta có: y = 3m - 1 - 3x
Thay vào phương trình (1) ta được:
x + m(3m - 1 - mx) = m + 1
=> (m2 - 1)x = 3m2 - 2m - 1 (3)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất tức là
m2 - 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1
Cách 2: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
<=>
b) Từ phương trình (2) ta có: y = 3m - 1 - mx.
Thay vào phương trình (1) ta được:
x + m(3m - 1 - mx) = m + 1
<=> x + 3m2 - m - m2x = m + 1
<=> (m2 - 1)x = 3m2 - 2m - 1 (3)
Trường hợp 1: m ≠ ± 1 khi đó hệ có nghiệm duy nhất
Trường hợp 2: m = 1 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 . x = 0
Vậy hệ có vô số nghiệm với mọi x thuộc R
Trường hợp 3: Với m = -1 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 . x = 4
=> Hệ phương trình vô nghiệm
D. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của phương trình:
Đặt
Hệ phương trình trở thành:
Cách 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Vậy phương trình có nghiệm
Cách 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Ta thay u, v vào hệ phương trình ban đầu ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm
E. Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay
F. Giải hệ phương trình bằng định thức
Hệ phương trình:
Định thức
Xét định thức
Kết quả
D ≠ 0Hệ có nghiệm duy nhất
D = 0
Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0Hệ vô nghiệm
Dx = Dy = 0Hệ vô số nghiệm
G. Giải hệ phương trình đối xứng
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.
b) Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y0; x0) cũng là nghiệm của phương trình.
c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Đặt ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.
Hướng dẫn giải
Đặt hệ phương trình đã cho trở thành
=> x, y là hai nghiệm của phương trình
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)
Hướng dẫn giải
Điều kiện
Đặt hệ phương trình đã cho trở thành:
(tmđk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3).
Xem chi tiết tại: Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Hướng dẫn giải
Đặt hệ đã cho trở thành
Đặt hệ phương trình đã cho trở thành:
Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.
b) Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y0; x0) cũng là nghiệm của phương trình.
c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng
Xem chi tiết tại: Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Hướng dẫn giải
Điều kiện
Ta kiểm tra được không là nghiệm của hệ phương trình đã cho
Xét trường hợp x + y ≠ - 1. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:
Khi x = y xét phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)
H. Giải hệ phương trình đẳng cấp
Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n:
a1xm + akxn - kyk + ... + anyn = 0
Từ đó ta xét hai trường hợp:
y = 0 thay vào để tìm x
y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình
Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y.
Xem chi tiết tại: Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x2y + 2y ≥ 0, suy ra y ≥ 0
Từ phương trình thứ nhất ta có:
xy = - x2 - x - 3
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
Đây là phương trình đẳng cấp đối với
Đặt phương trình trở thành
Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta thu được x = -1 => y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; - 3).
-
