Chuyên đề Toán 9: Góc nội tiếp

Chào mừng bạn đến với chuyên đề Toán 9: Góc nội tiếp - một chủ điểm quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi vào lớp 10. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu đầy đủ lý thuyết, các tính chất quan trọng, cách vận dụng vào bài tập, và hệ thống các dạng bài thường gặp về góc nội tiếp. Nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, phù hợp với học sinh lớp 9 đang ôn tập hoặc muốn nâng cao kiến thức hình học.

A. Ôn thi vào 10 với chuyên đề góc nội tiếp Toán 9

1. Góc nội tiếp là gì?

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong gọi là cung bị chắn.

2. Định lí

Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^{0}$ ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

B. Các dạng bài tập góc nội tiếp lớp 9

Dạng I. Tính số đo góc

Bài toán 1. Cho các điểm như hình vẽ. Tính số đo các góc của tam giác ABC , biết rằng $widehat{AOB} = 120^{0},$ $widehat{BOC} = 80^{0}$ .

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) , ta có:

Vì góc nội tiếp widehat{BAC} và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ

nên $widehat{BAC} = frac{1}{2}widehat{BOC} = frac{1}{2}.80^{0} = 40^{0}$

Vì góc nội tiếp widehat{ACB} và góc ở tâm widehat{AOB} cùng chắn cung nhỏ nên $widehat{ACB} = frac{1}{2}widehat{AOB} = frac{1}{2}.120^{0} = 60^{0}$

Xét tam giác ABC , ta có:

Bài toán 2. Cho đường tròn (O) và hai dây cung cắt nhau tại (hình vẽ). Tính số đo góc , biết rằng và .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Do hai góc nội tiếp và cùng chắn cung nên .

Tương tự và widehat{ACB} cùng chắn cung nên .

Xét tam giác có:

Ta có: (kề bù)

Bài toán 3. Tính số đo các góc và cung lớn trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) , ta có:

Do hai góc nội tiếp và cùng chắn cung nhỏ

nên .

Vì góc nội tiếp và góc ở tâm widehat{AOB} cùng chắn cung nhỏ

Nên

Sđ cung nhỏ : sđ nên số đo cung lớn là: sđ

Bài toán 4. Ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho . Từ vẽ vuông góc với và cắt đường tròn (O) tại .

a. Tính ;

b. Gọi là một dây cung song song với dây . Tính .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a. Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Tam giác vuông tại (gt) có (gt)

(góc nội tiếp cùng chắn cung ).

b. Ta có: (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

mà (2) (cặp góc so le trong)

Từ (1) và (2)

Dạng II. Các bài toán chứng minh

Bài toán 5. Cho đường tròn (O) và hai dây cung cắt nhau tại điểm nằm trong (O) (Hình vẽ)

a. Biết rằng . Tính số đo của góc .

b. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải

a. (Xem hình vẽ)

Xét đường tròn (O) . Nối với ta có góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ nên .

Tương tự với góc nội tiếp và góc ở tâm .

Ta có: .

Xét tam giác , ta có:

(đối đỉnh)

b) Nối với với .

Xét tam giác và tam giác có và là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ nên (*)

Tương tự và là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ nên

Từ và (g.g)

(đpcm)

Bài toán 6. Cho đường tròn (O) , đường kính và điểm nằm ngoài (O) . Cho hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại (khác ) và (khác ). Gọi là giao điểm của và (hình vē). Chứng minh rằng vuông góc với .

Hướng dẫn giải

a) (Xem hình vẽ).

Nối với với

Ta có hay

Chứng minh tương tự, ta có tam giác vuông tại hay và là hai đường cao của tam giác . Mà và cắt nhau tại nên là trực tâm của tam giác . (điều phải chứng minh).

Bài toán 7. Cho nội tiếp trong đường tròn ( . Lấy trên cạnh cắt cung ở . Chứng minh rằng.

a) ;

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn ) và (góc nội tiếp cùng chắn ) mà (vì )

Do đó

b) Xét và có: (Chứng minh trên) (góc nội tiếp cùng chắn )

Vậy (g.g) (điều phải chứng minh).

Bài toán 8. Cho nội tiếp đường tròn (O) , hai đường cao cắt nhau tại . cắt đường tròn (O) tại .

a) Chứng minh là tia phân giác của .

b) Chứng minh đối xứng với qua .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Ta có: (cùng phụ với )

(góc nội tiếp cùng chắn )

Chứng tỏ là phân giác của .

b) có đường cao đồng thời là đường phân giác (chứng minh trên). Do đó cũng là đường trung trực của đoạn hay và đối xứng nhau qua .

Bài toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ và là giao điểm của AJ với . Chứng minh rằng: .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

là điểm chính giữa cung

(g.g)

(1)

Ta lại co: (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Do đó (g.g)

Từ (1) và (2)

Dạng III. Toán thực tế

Bài toán 10. Trên sân bóng, khi trái được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng và trái bóng cách mỗi cọc gôn Hỏi khi trái bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền thì góc sút bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi là chân hai cọc gôn và O là điểm phạt đền.

Ta có

Vậy nằm trên đường tròn tâm bán kính và góc ở tâm

Do đó, góc nội tiếp

Vậy góc sút bằng

C. Bài tập vận dụng góc nội tiếp lớp 9 có lời giải

Bài toán 1. Tính số đo của và trong hình vẽ.

Bài toán 2. Cho và là hai đường kính vuông góc của nửa đường tròn (O) . Gọi lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau (hình vẽ).

Tìm số đo các góc sau:

a. ; b. .

Bài toán 3. Tính số đo góc (xem hình vẽ).

Bài toán 4. Tính số đo trong mối trường hợp ở hình.

Bài toán 5. và là hai đường kính vuông góc của đường tròn . Kẻ dây qua trung điểm của . cắt ở .

a) Tính độ dài .

b) Kẻ đường cao của tam giác . Tính diện tích tam giác .

Bài toán 6. Cho nội tiếp trong đường tròn (O) . Tia phân giác của góc cǎ́t ở và cắt đường tròn ở . Chứng minh rằng:

a) ; b) .

Bài toán 7. Từ điểm nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ cát tuyến . Gọi là điểm chính giữa của cung . Kẻ đường kính cắt (O) tại , ID cắt tại . Chứng minh rằng: .

Bài toán 9. Đỉnh của tam giác ABC với các góc nhọn được nối với tâm của đường tròn ngoại tiếp. Từ vẽ đường cao . Chứng minh ràng .

Bài toán 10. Cho tam giác ABC cân tại nội tiếp trong đường tròn , qua kẻ đường thẳng cắt cạnh tại và cắt (O) tại .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng tỏ tích không đổi (không phụ thuộc vào vị trí điểm ) hãy tính tích theo và đường cao của tam giác kẻ từ .

Bài toán 11. Từ một điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến đến , là hai tiếp điểm). Trên dây lấy bất kì. Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại và tại . Chứng minh rằng: .

Bài toán 12. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) . Một điểm nằm trên cung nhỏ . Trên đoạn lấy .

a) Chứng tỏ rằng đều.

b) Chứng tỏ rằng: .

? Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

Hy vọng rằng chuyên đề góc nội tiếp Toán 9 đã giúp bạn nắm vững kiến thức lý thuyết, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn khi bước vào các kỳ thi. Đừng quên luyện tập thường xuyên và tham khảo thêm các chuyên đề Toán lớp 9 khác trên website để học tốt môn Toán một cách toàn diện. Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao!