Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 3. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN - BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 
.
2.Đưa thừa số vào trong dấu căn
(với 
)
( với 
)
3. Khử mẫu ở biểu thức chứa căn
(với 
)
4. Trục căn thức ở mẫu
5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
Bước 1. Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
a) ;
b) 
.
Giải
Tìm cách giải. Để sắp xếp các căn thức không đồng dạng, chúng ta đưa các thừa số vào trong dấu căn. Sau đó so sánh biểu thức trong căn.
Trình bày lời giải
a) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
; 
;
; 
Mà .
Suy ra thứ tự tăng dần là .
b) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
; 
;
; 
.
Mà .
Suy ra thứ tự tăng dần là 
Ví dụ 2: Khử căn thức ở mẫu số: 
Giải
Tìm cách giải. Chúng ta không thể vận dụng một lần hằng đẳng thức để khử đồng thời ba căn thức ở mẫu được. Do vậy, chúng ta tìm cách giảm bớt số căn ở mẫu bằng hằng đẳng thức:
.
Sau đó khử thường mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu của mẫu với biểu thức liên hợp.
Trình bày lời giải
.
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính.
a) ;
b) .
Giải
Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính, bạn luôn chú ý:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
Trục căn thức ở mẫu, khử mẫu của biểu thức lấy căn.
Sau đó thu gọn các căn thức đồng dạng.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
.
b) Ta có:
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: 
Giải
Tìm cách giải. Nhận xét thấy rằng, mẫu thức chứa biểu thức căn “chồng chất”. Do vậy trước khi thực hiện rút gọn, chúng ta nên khai căn “chồng chất” trước đã. Quan sát thấy, để biến đổi căn “chồng chất” này, chúng ta chỉ cần làm xuất hiện 
.
Do vậy chúng ta có hai hướng biến đổi nhằm xuất hiện yêu cầu đó:
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 
.
Cách 2. Nhân hai vế với 
.
Trình bày lời giải
Cách 1.Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với , ta được:
.
Cách 2. Nhân hai vế với , ta được:
Suy ra: .
Ví dụ 5: Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để 
.
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2014 - 2015)
Giải
Tìm cách giải. Khi rút gọn biểu thức chứa căn thức, chú ý các bước:
Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Vận dụng các quy tắc của phép tính về phân thức, phép tính về căn thức để đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất.
Trình bày lời giải
a) TXĐ: .
.
b) 
(thỏa mãn điều kiện). Vậy để 
thì .
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:
.
Giải
Tìm cách giải. Bài toán có nhiều thành phần giống nhau, chúng ta nên đổi biến bằng cách đặt 
. Sau đó rút gọn biểu thức với biến x.
Trình bày lời giải
Đặt , biểu thức có dạng:
. Vậy 
.
Ví dụ 7: Cho các số dương 
thỏa mãn điều kiện .
Tính giá trị của biểu thức:
Giải
Tìm cách giải. Quan sát giả thiết và kết luận, chúng ta nhận thấy giữa số 100 và số 10 có liên quan tới nhau: . Do vậy, suy luận tự nhiên chúng ta thay 10 ở biểu thức bằng 
và biến đổi tiếp.
Trình bày lời giải
Thay vào biểu thức A, ta có:
.
Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức:
a) ;
b) .
Giải
Tìm cách giải. Bài toán này không thể quy đồng mẫu thức để thực hiện. Quan sát bài toán ta nhận thấy mỗi biểu thức là một dãy các phân thức viết theo quy luật. Mặt khác quan sát các thành phần trong căn ta có: 
ở biểu thức A, còn ở biểu thức B là: . Do vậy, chúng ta nghĩ tới việc trục căn thức ở mẫu nhằm đưa về mẫu thức chung là lẽ tự nhiên.
Trình bày lời giải
a) .
b)
.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng:
.
Giải
Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua bài toán cũng có quy luật như ví dụ trên. Song thực hiện tương tự ngay thì không thành công bởi chúng không khử liên tiếp được. Vẫn định hướng đó, chúng ta nghĩ tới kĩ thuật làm trội để sau khi trục căn thức có thể khử liên tiếp được. Do vậy, chúng ta có hai cách giải sau:
Trình bày lời giải
Cách 1. Đặt
và 
Ta có:
Xét
.
Mà 
. Điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có: 
. Điều phải chứng minh.
C. Bài tập vận dụng
3.1. Trục căn thức ở mẫu:
a) ; b) 
;
c) .
Hướng dẫn giải - đáp số
a) Ta có: 
.
b)
.
c) 
.
3.2. Rút gọn biểu thức:
a) 
; b) 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
a) Ta có: .
b) Ta có: 
.
3.3. Rút gọn biểu thức:
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có: 
.
3.4. Thực hiện phép tính:
a) ; b) 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
a) 
.
b)
.
3.5. Rút gọn biểu thức: 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có:
.
3.6. Rút gọn biểu thức:
a) b) 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
a) Ta có:
.
b) Ta có: 
.
3.7. Cho và . Tính .
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007 - 2008)
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có:
Ta có:
.
Suy ra: 
.
Ta có: .
3.8. Xác định 
biết: 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
Xét vế trái: 
.
Đồng nhất hai vế ta được: 
.
3.9. Cho . Với .
Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có: 
ĐKXĐ: 
.
Bình phương hai vế, ta được: .
Vì nên .
Xét .
Điều phải chứng minh.
3.10. Tính giá trị biểu thức tại 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có: 
Ta có:
Thay vào biểu thức M ta có:
.
3.11. Cho biểu thức: 
a) Rút gọn M;
b) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Hướng dẫn giải - đáp số
a) Ta có: 
. TXĐ: 
.
b) Ta có: 
. Vì 
nên 
.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 2020 khi .
3.12. Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để 
.
(Tuyển sinh lớp 10 chuyên, ĐHSP, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải - đáp số
a) Ta có: 
b) 
, thuộc tập xác định.
Vậy với 
thì .
3.13. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện .
Đặt: 
. Tính .
Hướng dẫn giải - đáp số
Thay 
vào biểu thức P, ta có:
.
3.14. Cho biểu thức với 
.
a) Rút gọn biểu thức: 
với .
b) Tìm tất cả các giá trị 
sao cho P là số nguyên tố.
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Đà Nẵng, năm học 2012 - 2013)
Hướng dẫn giải - đáp số
Đặt 
khi đó biểu thức P có dạng:
.
a) Do đó 
Suy ra .
Theo câu a, ta có 
nên 
, P là số nguyên tố nên P phải là số nguyên dương.
Ư(3)
1
3
4
6
15
35
Thử lại, với 
thì 
là hợp số (loại);
với 
thì 
là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy với thì là số nguyên tố.
3.15. Cho 
và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến.
.
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có:
. Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí của các biến.
3.16. Cho biểu thức:
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi 
thỏa mãn điều kiện: 
và 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có: 
. Điều phải chứng minh.
3.17. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi .
c) Tìm x để P có giá trị là số tự nhiên.
d) Tìm x để 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
a) Ta có: 
. ĐKXĐ: và 
.
b) thuộc TXĐ.
Thay vào biểu thức P, ta có:
.
c) Ta có: 
. Để P có giá trị là số tự nhiên thì và 
,
Từ đó ta có bảng giá trị sau:
1
3
3
5
9
25
Kết hợp với tập xác định, với thì P nhận giá trị là số tự nhiên.
d)
và 
khác dấu.
Mặt khác, ta có
Do đó: 
Kết hợp với tập xác định, ta có: 
thì 
.
3.18. Rút gọn biểu thức: 
.
Với .
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có:
.
3.19.Chứng minh rằng nếu là các số dương thỏa mãn thì ta luôn có:
Hướng dẫn giải - đáp số
Từ giả thiết, suy ra
Xét vế trái:
.
Vế trái = Vế phải. Điều phải chứng minh.
3.20. Chứng minh rằng:
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2011 - 2012)
Hướng dẫn giải - đáp số
Cách 1. Đặt 
Đặt 
Ta có:
Xét
Mà 
. Điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có: 
. Điều phải chứng minh.
3.21. Cho dãy số thỏa mãn 
và 
với 
. Tính 
.
Hướng dẫn giải - đáp số
Ta có: 
.
Ta có: 
.
Từ đó suy ra 
. Vậy 
.
3.22. Cho số thực thỏa mãn 
.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải - đáp số
Từ giả thiết
Nhận xét: Vì nên loại, suy ra .
Xét
Từ đó ta có: . Điều phải chứng minh.
