Giờ trước khi bạn nói, "Ồ, độ lớn của tích có hướng là |a||b|sin(pheta), cũng là diện tích của hình bình hành tạo bởi a và b", tại sao |a x b|=|a||b|sin(pheta)?
Giờ trước khi bạn đi vào toàn bộ chứng minh, nơi bạn lấy |a x b|^2 dẫn đến ba số hạng bình phương (từ ba thành phần đến a x b) và thực hiện một số thao tác đại số thông minh để có được:
|a|^2 |b|^2 sin^2 (theta)
sau đó lấy căn bậc hai và tát một Q.E.D, tôi muốn biết tại sao lại như vậy.
Bạn có thể suy ra công thức cho một tích có hướng bằng cách hỏi vectơ nào trực giao với a và b. Sau đó, bạn có thể viết nó như sau:
Dot(a,c)==0 và Dot(b,c)==0
từ đây (bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính) bạn có thể tìm thấy c phải là <a2*b3-a3*b3, a3*b1-a1*b3, a1*b2-a2*b1>.
Không ở đâu trong phép suy ra này chúng ta quan tâm đến độ lớn của c là bao nhiêu, vậy tại sao lại xảy ra rằng độ lớn của c là diện tích của a x b? Tôi khó tin rằng đây chỉ là một sự trùng hợp ngẫu nhiên.
Khi bạn giải một hệ phương trình tuyến tính, nó có thể được giải bằng định thức (đặc biệt là nghịch đảo của định thức), và tôi biết định thức có liên quan đến diện tích của hình bình hành giữa a và b. Đây có phải là lý do không?
Chỉnh sửa: Cảm ơn tất cả các bạn đã dành thời gian đọc bài đăng của tôi, và TẤT CẢ các câu trả lời của các bạn đều hữu ích. Tuy nhiên, tôi vẫn chưa nhận được câu trả lời tôi muốn, vì vậy hãy để tôi cố gắng cụ thể hơn.
Quên về tích có hướng trong một giây, và hãy làm điều này: Tôi muốn tìm một vectơ c có bất kỳ độ lớn nào trực giao với các vectơ a và b.
Tất cả những gì tôi cần làm là xác định c vuông góc với cả hai một cách đại số. Điều này dễ dàng với tích vô hướng.
a•c=0 b•c=0
1.) Bây giờ một số đại số:
(a1c1+a2c2+a3c3=0)*b3 (b1c1+b2c2+b3c3=0)*a3
b3a1c1+b3a2c2+b3a3c3=0 a3b1c1+a3b2c2+a3b3c3=0
2.) Trừ cả hai phương trình
(b3a1-a3b1)c1 + (b3a2-b2a3)c2=0
3.) Giải cho c1 và c2 Nếu nó là pc1+qc2=0 Một giải pháp hiển nhiên là c1=q và c2= -p
Thay thế q và p và bạn nhận được
c1=(b3a2 -b2a3) và c2=(a3b1-b2a1)
4.) Cắm vào c1 và c2 xác định duy nhất c3 là
c3=(a1b2 - a2b1)
Do đó c=(b3a2-b2a3, a3b1-b2a1, a1b2 - a2b1)
Được rồi, bây giờ chúng ta có c, chúng ta có thể chứng minh rằng
|c|=|a||b|sin(theta), tức là độ lớn của c bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi a và b.
Tôi sẽ không trình bày nó ở đây vì tôi phát ngán gõ toán trên điện thoại của mình, nhưng phần quan trọng là nó không yêu cầu bất kỳ giả định nào khác.
Hầu hết mọi người trong phần bình luận đều nói rằng đó chỉ là cách tích có hướng được định nghĩa. Chà, theo phép suy ra ở trên, chúng ta thấy rằng |c|=|a||b|sin(theta) CHỈ bằng cách xác định c là trực giao với a và b.
Tại sao, khi bạn chỉ xác định một vectơ là trực giao với hai vectơ khác, độ lớn của nó trở thành diện tích của hai vectơ khác.
