Tôi không thể giải thích hình học đại số, nhưng hai ứng dụng cụ thể là: lý thuyết mã hóa và lập trình bán xác định. Cả hai lĩnh vực này đều có nhiều ứng dụng (cả ứng dụng trong đời sống thực tế và cho các lĩnh vực khác của toán học, khoa học máy tính, kỹ thuật, v.v.).
Một ứng dụng đơn giản của hình học đại số trong lý thuyết mã hóa là mã hermitian: https://www.cs.cmu.edu/~venkatg/teaching/au18-coding-theory/lec-scribes/ag-hermitian.pdf
Nói chung, một họ mã sửa lỗi tuyệt vời được gọi là mã reed-solomon thu được bằng cách đánh giá các đa thức (với các hệ số từ một trường hữu hạn) trên một trường hữu hạn. Các mã reed-solomon một biến đạt được giới hạn singleton, đây là mối quan hệ tốt nhất có thể giữa khoảng cách và tốc độ. Khi bạn chuyển sang mã Reed-solomon đa biến, mối quan hệ giữa khoảng cách và tốc độ trở nên tồi tệ hơn nhiều. Một cách để giải quyết vấn đề này là sử dụng 'hình học đại số', đặc biệt thay vì đánh giá các đa thức trên toàn bộ trường, hãy chọn một đường cong thích hợp.
Ứng dụng chính của hình học đại số là định lý Bezout.
Lập trình bán xác định: Có nhiều vấn đề thú vị và quan trọng liên quan đến tối ưu hóa đa thức. Ví dụ, bài toán max-cut nổi tiếng cho đồ thị. Nói chung, tối ưu hóa đa thức là NP-khó. Một cách mà mọi người cố gắng giải quyết vấn đề này là thiết kế một sự nới lỏng (có thể được giải quyết hiệu quả) mà lời giải của nó gần với bài toán ban đầu. Đối với một bài toán tối ưu hóa đa thức, có một hệ thống phân cấp nổi tiếng về các phép nới lỏng chương trình bán xác định được gọi là các phép nới lỏng tổng bình phương (SoS). Họ các phép nới lỏng này dựa trên một kết quả trong hình học đại số lồi được gọi là positivstellensatz, đưa ra các điều kiện để một tập hợp các đẳng thức và bất đẳng thức đa thức có một nghiệm.
