Vậy là tôi đã thấy một điều kiện để tìm nghiệm kép.
Một đa thức P có nghiệm kép trong trường phân rã của nó khi và chỉ khi ước chung lớn nhất (UCLN) của P và đạo hàm hình thức P' của nó không phải là hằng số. Tức là deg(UCLN(P,P')) > 0.
Tôi tự hỏi liệu điều này có áp dụng cho nghiệm bội ba hay nói chung liệu điều này có đúng không:
Một đa thức P có nghiệm bội n+1 trong trường phân rã của nó khi và chỉ khi UCLN của P và đạo hàm hình thức bậc n của nó không phải là hằng số. Có vẻ đúng trong trường hợp tìm nghiệm bội ba. Trường hợp n=2 là điều kiện đầu tiên.
Tôi đã thấy một điều kiện tương tự khác trên mạng, một đa thức có nghiệm bội khi và chỉ khi P(a)=P'(a)=0. Điều này dường như tránh việc nói về các trường lớn hơn (trường phân rã của P) nhưng làm sao bạn biết liệu có một nghiệm a như vậy ngay từ đầu? Điều này cực kỳ hữu ích nếu tôi muốn kiểm tra xem a có phải là nghiệm bội hay không nhưng nói chung thì không hay lắm để tìm xem có nghiệm bội nào không.
nếu n=3: nếu có nghiệm bội ba, P(x)=(x-r)^3*Q(x). P'(x)=3(x-r)^2Q(x)+(x-r)^3*Q'(x). Vì P'(x) có nghiệm kép, P'(r)=P''(r)=0 tức là UCLN(P,P'') ít nhất x-r có bậc lớn hơn 0.
P=(x-r)Q(x), P'=(x-r)Q'(x)+Q(x) và P''=2Q'(x)+(x-r)*Q''(x) tức là Q'(x) và Q(x) chia hết cho (x-r) điều này cũng ngụ ý rằng r là nghiệm kép của Q. Nhìn vào P=(x-r)Q(x) điều này ngụ ý rằng P có r là nghiệm bội ba.
Nói chung, có đúng là nếu nghiệm bội duy nhất không nằm trong trường các hệ số thì bậc của UCLN lớn hơn 1 không? Bởi vì UCLN của 2 đa thức luôn nằm trong cùng một trường với trường các hệ số của 2 đa thức đó. Sau đó, UCLN không thể có bậc 1 nếu không điều đó sẽ ngụ ý rằng có một nghiệm bội trong trường các hệ số.
