Các bài toán hình về diện tích

HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 9 CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÍ VI -ÉT

I - Kiến thức cần nhớ

1, Hệ thức Vi - et

Phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0,,,(ane 0),,,,(1)$

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}$ thì $left{ begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-b}{a} & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{c}{a} end{align} right.$

- Đảo lại: nếu hai số ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $left{ begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-b}{a} & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{c}{a} end{align} right.$ thì ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình : ${{x}^{2}}-Sx+P=0$

2, Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng trong giải toán

• $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
• $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)$
• $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}={{left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
• $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=sqrt{{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
• $frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=frac{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
• $frac{1}{x_{1}^{2}}+frac{1}{x_{2}^{2}}=frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}=frac{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}$
• ${{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

II - Bài tập vận dụng

Bài 1. Gọi ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình : ${{x}^{2}}+x-2+sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

1. a) $A=frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}$
2. b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
3. c) $C=left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$

HD:

Ta có : $Delta =1-4.left( -2+sqrt{2} right)=9-4sqrt{2}>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi - et ta có: $left{ begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2+sqrt{2} end{align} right.$

1. a) $A=frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=frac{-1}{-2+sqrt{2}}=frac{1}{2-sqrt{2}}$
2. b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-2.left( -2+sqrt{2} right)=5-2sqrt{2}$
3. c) $C=left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=sqrt{{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$

$Rightarrow C=sqrt{1-4.left( -2+sqrt{2} right)}=sqrt{9-4sqrt{2}}=sqrt{{{left( 2sqrt{2}-1 right)}^{2}}}=2sqrt{2}-1$

Bài 2. Gọi ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x-7=0$. Lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm $frac{1}{{{x}_{1}}-1}$ và $frac{1}{{{x}_{2}}-1}$.

HD:

Ta có $Delta ={{3}^{2}}+4.7=37>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi - et ta có: $left{ begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-7 end{align} right.$

Ta có : $left{ begin{align}& S=frac{1}{{{x}_{1}}-1}+frac{1}{{{x}_{2}}-1}=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=frac{3-2}{-7-3+1}=frac{-1}{9} & P=frac{1}{{{x}_{1}}-1}.frac{1}{{{x}_{2}}-1}=frac{1}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=frac{-1}{9} end{align} right.$

Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: ${{x}^{2}}+frac{1}{9}x-frac{1}{9}=0$

Bài 3. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $3{{x}^{2}}+5x-6=0$. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn $y$ có hai nghiệm ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ thỏa mãn: ${{y}_{1}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$ và ${{y}_{2}}=2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}$.

HD:

Ta có $ac=3.(-6)=-18<0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi - et ta có: $left{ begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-5}{3} & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 end{align} right.$

Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=2{{ x }_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-5}{3}$

${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} right)=2.left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)+5{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2.{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}+9{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=-2.frac{25}{9}-2.9=frac{-212}{9}$

Vậy phương trình cần tìm là: ${{y}^{2}}+frac{5}{3}y-frac{212}{9}=0$

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé