MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh các ý cuối trong đề thi cuối kì I lớp 8 của các trường kèm đáp án chi tiết.
Câu 1. (Trường THCS Ngọc Lâm - Hà Nội, năm 2024 - 2025)
Cho ( x + y + z = 0 ) và ( x,y,z ne 0 ). Tính giá trị của
( P = dfrac{xy}{x^2 + y^2 - z^2} + dfrac{yz}{y^2 + z^2 - x^2} + dfrac{xz}{x^2 + z^2 - y^2} )
Hướng dẫn:
Có ( x + y + z = 0 ) ⇒ ( x = -y - z ), ( y = -x - z ), ( z = -x - y ).
( P = dfrac{xy}{x^2 + y^2 - z^2} + dfrac{yz}{y^2 + z^2 - x^2} + dfrac{xz}{x^2 + z^2 - y^2} )
( = dfrac{xy}{x^2 + y^2 - (-x - y)^2} + dfrac{yz}{y^2 + z^2 - (-y - z)^2} + dfrac{xz}{x^2 + z^2 - (-x - z)^2} )
( = dfrac{xy}{-2xy} + dfrac{yz}{-2yz} + dfrac{xz}{-2xz} = -dfrac12 - dfrac12 - dfrac12 = -dfrac32 )
Vậy ( P = -dfrac32 ).
Câu 2. (Trường THCS Đồng Khởi - Đồng Nai, năm 2024 - 2025)
Cho ( x + dfrac1x = 3 ) ( (x ne 0) ), tính ( x^6 + dfrac1{x^6} ).
Hướng dẫn:
( x + dfrac1x = 3 Rightarrow left(x + dfrac1xright)^2 = 3 Rightarrow x^2+2+dfrac{1}{x^2}=9)
( Rightarrow x^2 + dfrac1{x^2} = 7 Rightarrow left( x^2 + dfrac1{x^2} right)^3 = 343 )
( Rightarrow x^6 + 3!left( x^2 + dfrac1{x^2} right) + dfrac1{x^6} = 343 )
( Rightarrow x^6 + dfrac1{x^6} = 343 - 3 cdot 7 = 322 )
Vậy ( x^6 + dfrac1{x^6} = 322 ).
Câu 3. (Trường THCS Tân Xuân - Hồ Chí Minh, năm 2024 - 2025)
Cho ba số ( a, b, c ne 0 ), thỏa mãn ( a + b + c = 0 ).
Tính giá trị của biểu thức
( M = dfrac{a^3 + a^2 c - abc + b^2 c + b^3} {a^2 + b^4 + c^8} )
Hướng dẫn:
( M = dfrac{(a^3 + b^3) + (a^2 c - abc + b^2 c)} {a^2 + b^4 + c^8} )
( M = dfrac{(a + b)(a^2 - ab + b^2) + c(a^2 - ab + b^2)} {a^2 + b^4 + c^8} )
( M = dfrac{(a + b + c)(a^2 - ab + b^2)} {a^2 + b^4 + c^8} )
( M = dfrac{0 cdot (a^2 - ab + b^2)}{a^2 + b^4 + c^8} = 0 ) (vì ( a + b + c = 0 ))
Câu 4. (Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm - Hà Nội, năm 2023 - 2024)
Cho ba số ( x, y, z ne 0 ), thỏa mãn ( dfrac1x + dfrac1y + dfrac1z = 2 ) và ( dfrac{2}{xy} = dfrac1{z^2} + 4 ).
Tính giá trị của biểu thức ( P = (x - 2y + z)^{2023} ).
Hướng dẫn:
Đặt ( a = dfrac1x ), ( b = dfrac1y ), ( c = dfrac1z ).
( dfrac1x + dfrac1y + dfrac1z = 2 Rightarrow a + b + c = 2 Rightarrow a = 2 - b - c )
( dfrac{2}{xy} = dfrac1{z^2} + 4 Rightarrow 2ab = c^2 + 4 Rightarrow 2(2 - b - c)b = c^2 + 4 )
( Rightarrow 4b - 2b^2 - 2bc = c^2 + 4 )
( Rightarrow c^2 + 2b^2 + 2bc - 4b + 4 = 0 )
( Rightarrow (c^2 + b^2 + 2bc) + (b^2 - 4b + 4) = 0 )
( Rightarrow (b + c)^2 + (b - 2)^2 = 0 )
Có ( (b + c)^2 + (b - 2)^2 ge 0 ) với mọi ( b, c ).
Dấu “=” xảy ra khi: ( begin{cases} b + c = 0 b - 2 = 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} b = 2 c = -2 end{cases} )
Có ( a + b + c = 2 Rightarrow a = 2 - (b + c) = 2 - (2 - 2) = 2 ).
Vậy ( begin{cases} a = 2 b = 2 c = -2 end{cases} Rightarrow begin{cases} x = dfrac12 y = dfrac12 z = -dfrac12 end{cases} )
Thay ( x = dfrac12 ), ( y = dfrac12 ), ( z = -dfrac12 ) vào ( P ), ta có:
( P= left( dfrac12 - 2cdotdfrac12 - dfrac12 right)^{2023} = (-1)^{2023} = -1 )
Vậy ( P = -1 ).
Câu 5. (Trường Ban Mai School - Hà Nội, năm 2024 - 2025)
Cho ( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc ) và ( a + b + c ne 0 ). Tính giá trị biểu thức
( N = dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{(a + b + c)^2} )
Hướng dẫn:
( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc )
( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 )
( (a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3 - 3abc = 0 )
( (a+b+c)big[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2big] - 3ab(a+b+c) = 0 )
( (a+b+c)big(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bcbig) - 3ab(a+b+c) = 0 )
( (a+b+c)big(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bcbig) = 0 )
( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc = 0 ; (text{Do } a+b+c ne 0) )
( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 )
( (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0 )
( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 )
Có ( (a-b)^2 ge 0 ), ( (b-c)^2 ge 0 ), ( (c-a)^2 ge 0 ) với mọi ( a, b, c ).
Suy ra ( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ge 0 ) với mọi ( a, b, c ).
Dấu “=” xảy ra khi:
( begin{cases} a-b=0 b-c=0 c-a=0 end{cases} Rightarrow a=b=c )
( N= dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} = dfrac{3c^2}{(3c)^2} = dfrac{1}{3} )
Vậy ( N = dfrac13 ).
Câu 6. (Trường THCS Lương Thế Vinh - Nam Định, năm 2024 - 2025)
Cho ( x, y ) dương thỏa mãn
( x^3 + 8y^3 - 6xy + 1 = 0 )
Tính giá trị của biểu thức A = (x^{2024} + left( y - dfrac12 right)^{2025}) Hướng dẫn: (x^3 + 8y^3 - 6xy + 1 = 0) ((x + 2y)^3 - 3x cdot 2y (x + 2y) - 6xy + 1 = 0)
((x + 2y)^3 - 6xy (x + 2y) - 6xy + 1 = 0)
((x + 2y)^3 + 1 - 6xy (x + 2y + 1) = 0)
((x + 2y + 1)big[(x + 2y)^2 - (x + 2y) + 1big] - 6xy (x + 2y + 1) = 0) ((x + 2y + 1)big[x^2 + 4y^2 + 4xy - x - 2y + 1big] - 6xy (x + 2y + 1) = 0) ((x + 2y + 1)big[x^2 + 4y^2 - 2xy - x - 2y + 1big] = 0)
Mà (x + 2y + 1 > 0) (vì x, y > 0) nên: (x^2 + 4y^2 - 2xy - x - 2y + 1 = 0)
(4x^2 + 16y^2 - 8xy - 4x - 8y + 4 = 0)
(4x^2 - 4x(2y + 1) + (2y + 1)^2 - 4y^2 - 4y + 1 + 16y^2 - 8y + 4 = 0)
((2x - 2y - 1)^2 + 12y^2 - 12y + 3 = 0)
((2x - 2y - 1)^2 + 3(2y - 1)^2 = 0)
Có ( (2x - 2y - 1)^2 ge 0 ); ( 3(2y - 1)^2 ge 0 ) với mọi x, y dương nên
( (2x - 2y - 1)^2 + 3(2y - 1)^2 ge 0 ) với mọi x, y dương.
Dấu “=” xảy ra khi:
( begin{cases} 2x-2y-1= 0 2y-1= 0 end{cases} Rightarrowbegin{cases} x=1 y=dfrac12 end{cases})
Thay ( x = 1 ), ( y = dfrac{1}{2} ) vào biểu thức A, ta có: ( A = 1^{2024} + left( dfrac{1}{2} - dfrac{1}{2} right)^{2025} = 1 )
Vậy A = 1
Câu 7. (Trường THCS Thị Trấn Hà Trung - Thanh Hóa năm 2023 - 2024)
Cho ( a + b = 1 ). Tính giá trị biểu thức sau:
( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2 b^2 (a + b) )
Hướng dẫn:
(M=(a+b)^3−3ab(a+b)+3ab((a+b)^2−2ab)+6a^2b^2(a+b))
(M=1−3ab⋅1+3ab(1−2ab)+6a^2b^2⋅1)
(M=1−3ab+3ab−6a^2b^2+6a^2b^2=1)
Vậy M = 1
Câu 8. (Trường THCS Phan Chu Trinh - Hà Nội, năm 2024 - 2025)
Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời ( a + b + c = 9 ) và ( a^2 + b^2 + c^2 = 27 ).
Tính giá trị của biểu thức: ( P = (a - 2)^{2023} + (b - 3)^{2024} + (c - 4)^{2025} )
Hướng dẫn:
( a^2 + b^2 + c^2 - 6(a + b + c) = 27 - 54 )
( a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 6b - 6c + 27 = 0 )
((a^2−6a+9)+(b^2−6b+9)+(c^2−6c+9)=0)
((a−3)^2+(b−3)^2+(c−3)^2=0)
Có ( (a - 3)^2 ge 0 ), ( (b - 3)^2 ge 0 ), ( (c - 3)^2 ge 0 ) với mọi a, b, c.
(⇒(a−3)^2+(b−3)^2+(c−3)^2≥0) với mọi a,b,c
Dấu “=” xảy ra khi:
( begin{cases} a-3= 0 b -3= 0c-3=0 end{cases}Rightarrow begin{cases} a=3 b =3c=3 end{cases})
Thay ( a = b = c = 3 ) vào P, ta có:
(P=(3−2)^{2023}+(3−3)^{2024}+(3−4)^{2025}=1+0+(−1)=0)
Vậy P = 0
Câu 9. (Trường THCS Phúc Diễn - Hà Nội, năm 2024 - 2025)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4x + 50 )
Hướng dẫn:
( A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4x + 50 )
( = x^2 - 2x(y + 2) + (y + 2)^2 - (y + 2)^2 + 2y^2 + 50 )
( = (x - y - 2)^2 + y^2 - 4y + 46 )
( = (x - y - 2)^2 + (y - 2)^2 + 42 )
Có ( (x - y - 2)^2 ge 0 ); ( (y - 2)^2 ge 0 ) với mọi x, y.
( A = (x - y - 2)^2 + (y - 2)^2 + 42 ge 42 )
Dấu “=” xảy ra khi: ( begin{cases} x-y - 2 = 0 y -2= 0 end{cases}Rightarrow begin{cases} x = 6 y =2 end{cases})
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 42 khi x = 6, y = 2.
Câu 10. (Trường THCS Giao Thủy - Nam Định, năm 2024 - 2025)
Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn ( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 = 3x^2 + 6xy )
Hướng dẫn:
( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 = 3x^2 + 6xy )
( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 - 3x^2 - 6xy = 0 )
(left(x^2 + xyright)^2 - 4left(x^2 + xy + 4right) + (x^2 - 2xy + y^2) = 0)
((x^2 + xy - 2)^2 + (x - y)^2 = 0)
Có ((x^2 + xy - 2)^2 ge 0; (x-y)^2 ge 0) với mọi x, y.
Nên ((x^2 + xy - 2)^2 + (x-y)^2 ge 0) với mọi x, y.
Dấu “=” xảy ra khi (begin{cases} x^2 + xy - 2 = 0 x - y = 0 end{cases}) ⇔ (begin{cases} 2x^2 - 2 = 0 x = y end{cases}) ⇔ (begin{cases} x^2 = 1 x = y end{cases})
⇒ (begin{cases} x = 1 y = 1 end{cases}) hoặc (begin{cases} x = -1 y = -1 end{cases})
Vậy ((x, y) in {(-1,-1); (1,1)}).
Câu 11. (Trường THCS Giảng Võ 2 - Hà Nội, năm 2024 - 2025)
Tìm số nguyên n để biểu thức (A = n^4 - 16n^2 + 100) có giá trị là số nguyên tố.
Hướng dẫn:
(n^4 - 16n^2 + 64 + 36 = (n^2 - 8)^2 + 36) ≥ 36 > 1 với mọi n.
Có (A = n^4 - 16n^2 + 100)
(= (n^4 + 20n^2 + 100) - 36n^2)
(= (n^2 + 10)^2 - (6n)^2)
((n^2 - 6n + 10)(n^2 + 6n + 10))
Vì A là số nguyên tố nên (n^2 - 6n + 10 = 1) hoặc (n^2 + 6n + 10 = 1).
TH 1) (n^2 - 6n + 10 = 1 Rightarrow (n - 3)^2 = 0 Rightarrow n = 3)
TH 2) (n^2 + 6n + 10 = 1 Rightarrow (n + 3)^2 = 0 Rightarrow n = -3)
Vậy (n = pm 3) thì A là số nguyên tố.
Câu 12. (Trường THCS Xuân Trường - Nam Định, năm 2024 - 2025)
Cho x, y, z là các số hữu tỉ thay đổi thỏa mãn điều kiện (xy + yz + zx = 1). Chứng minh rằng: (A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)) là bình phương của một số hữu tỉ.
Hướng dẫn:
Có (x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + zx = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z))
Chứng minh tương tự, ta được: (y^2 + 1 = (y+x)(y+z)) và (z^2 + 1 = (z+x)(z+y)).
(A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1))
(= (x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(z+x)(z+y))
(= (x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(z+x)(z+y))
(= [(x+y)(x+z)(y+x)]^2)
Vậy A là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 13. (Trường THCS Tam Hiệp - Hà Nội, năm 2023 - 2024)
Tìm cặp số tự nhiên (x; y) sao cho (x^2 + 55 = 4y^2)
Hướng dẫn:
(x^2 + 55 = 4y^2 Rightarrow x^2 - 4y^2 = -55)
((x + 2y)(x - 2y) = -55 Rightarrow (2y + x)(2y - x) = 55)
Có (2y - x le 2y + x); (2y + x ge 0) nên ta có:
TH 1:
(begin{cases} x + 2y = 55 2y - x = 1 end{cases}) (Rightarrow begin{cases} 2y - 1 + 2y = 55 x = 2y - 1 end{cases})
(Rightarrow begin{cases} 4y - 1 = 55 x = 2y - 1 end{cases} Rightarrow y = 14,, x = 27)
TH 2:
(begin{cases} x + 2y = 11 2y - x = 5 end{cases}) (Rightarrow begin{cases} 2y - 5 + 2y = 11 x = 2y - 5 end{cases})
(Rightarrow y = 4,, x = 3)
Vậy ((x; y) in {(3; 4); (27; 14)})
Câu 14. (Trường THCS Đông Ninh - Thanh Hóa, năm 2023 - 2024)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (x^2 + y^2 = 3 - xy)
Hướng dẫn:
(x^2 + y^2 = 3 - xy)
(2x^2 + 2y^2 = 6 - 2xy)
(x^2 + 2xy + y^2 = 6 - (x^2 + y^2))
((x + y)^2 = 6 - (x^2 + y^2) (*))
Vì ((x + y)^2 ge 0) với mọi x, y nên (6 - (x^2 + y^2) ge 0 Rightarrow x^2 + y^2 le 6)
(0 le x^2 le 6 - y^2 le 6)
(x^2 in {0; 1; 4}) (vì (x^2) là số chính phương)
(x in {-2; -1; 0; 1; 2})
Thay lần lượt các giá trị của x vào (*), ta được:
x -2 -1 0 1 2 y 1 2 (pm sqrt{3}) -2 hoặc 1 -1Vậy các cặp (x, y) là ((x, y) in {(-2, 1); (-1, 2); (1, -2); (1, 1); (2, -1)})
Câu 15. (Trường THCS Phan Chu Trinh - Hà Nội, năm 2023 - 2024)
Phân tích đa thức thành nhân tử: ((x^2 - 6 + x)(x^2 - 4 + 3x) - 24)
Hướng dẫn:
((x^2 - 6 + x)(x^2 - 4 + 3x) - 24)
(= (x + 3)(x - 2)(x + 4)(x - 1) - 24)
(= [(x + 3)(x - 1)][(x - 2)(x + 4)] - 24)
(= (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 8) - 24)
Đặt (t = x^2 + 2x), khi đó:
((x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 8) - 24)
(= (t - 3)(t - 8) - 24)
(= t^2 - 11t + 24 - 24)
(= t^2 - 11t = t(t - 11))
(= (x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 11))
(= x(x + 2)left[(x^2 + 2x + 1) - 12right])
(= x(x + 2)left[(x + 1)^2 - 12right])
(= x(x + 2),(x + 1 + 2sqrt{3}),(x + 1 - 2sqrt{3}))
