Lý thuyết phương trình mũ và phương trình lôgarit

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng ({a^x} = bleft( {0 < a ne 1} right))

+) Với (b > 0) ta có ({a^x} = b Leftrightarrow x = {log _a}b).

+) Với (b le 0) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình ({5^x} = 125).

Ta có:

(begin{array}{l}{5^x} = 125 Leftrightarrow x = {log _5}125 Leftrightarrow x = 3end{array})

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ({left( {frac{1}{2}} right)^{2x - 1}} = {2^{3x}})

Ta có:

(begin{array}{l}{left( {frac{1}{2}} right)^{2x - 1}} = {2^{3x}} Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}} Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x Leftrightarrow 1 = 5x Leftrightarrow x = dfrac{1}{5}end{array})

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình ({4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0).

Ta có:

(begin{array}{l}{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {{2^x}} right)^2} - {2.2^x} + 1 = 0end{array})

Đặt (t = {2^x} > 0) ta được:

(begin{array}{l}{t^2} - 2t + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {t - 1} right)^2} = 0 Leftrightarrow t - 1 = 0 Leftrightarrow t = 1end{array})

(begin{array}{l} Rightarrow {2^x} = 1 Leftrightarrow x = {log _2}1 Leftrightarrow x = 0end{array})

c) Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình ({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1).

Logarit hai vế cơ số (3) ta được:

(begin{array}{l}{log _3}left( {{3^x}{{.2}^{{x^2}}}} right) = {log _3}1 Leftrightarrow {log _3}{3^x} + {log _3}{2^{{x^2}}} = 0 Leftrightarrow x + {x^2}{log _3}2 = 0 Leftrightarrow xleft( {1 + x{{log }_3}2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 01 + x{log _3}2 = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x = - dfrac{1}{{{{log }_3}2}} = - {log_2}3end{array} right.end{array})

II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng ({log _a}x = b) (left( {0 < a ne 1} right))

Ta có: ({log _a}x = b Leftrightarrow x = {a^b}).

Phương trình luôn có nghiệm (x = {a^b}).

Ví dụ: Giải phương trình ({log _5}x = - 2).

Ta có: ({log _5}x = - 2 Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} Leftrightarrow x = dfrac{1}{{25}}).

2. Cách giải một số phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ({log _2}x + {log _4}x = 1)

Ta có:

(begin{array}{l}{log _2}x + {log _4}x = 1 Leftrightarrow {log _2}x + dfrac{1}{2}{log _2}x = 1 Leftrightarrow dfrac{3}{2}{log _2}x = 1 Leftrightarrow {log _2}x = dfrac{2}{3} Leftrightarrow x = {2^{frac{2}{3}}} Leftrightarrow x = sqrt[3]{4}end{array})

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình (dfrac{1}{{ln x}} + dfrac{1}{{ln x - 1}} = dfrac{5}{6}).

ĐK: (left{ begin{array}{l}x > 0ln x ne 0ln x ne 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0x ne 1x ne eend{array} right.)

Đặt (t = ln xleft( {t ne 0,t ne 1} right)) ta được:

(begin{array}{l}dfrac{1}{t} + dfrac{1}{{t - 1}} = dfrac{5}{6} Leftrightarrow dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6tleft( {t - 1} right)}} = dfrac{{5tleft( {t - 1} right)}}{{6tleft( {t - 1} right)}} Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 3t = dfrac{2}{5}end{array} right.left( {TM} right) Rightarrow left[ begin{array}{l}ln x = 3ln x = dfrac{2}{5}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = {e^3}x = {e^{frac{2}{5}}}end{array} right.left( {TM} right)end{array})

Vậy phương trình có tập nghiệm (S = left{ {{e^3};{e^{frac{2}{5}}}} right}).

c) Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình ({log _3}left( {3 - {3^x}} right) = 1 + x)

ĐK: (3 - {3^x} > 0 Leftrightarrow {3^x} < 3 Leftrightarrow x < 1)

Ta có:

(begin{array}{l}{log _3}left( {3 - {3^x}} right) = 1 + x Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}} Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x} Leftrightarrow 3 = {4.3^x} Leftrightarrow {3^x} = dfrac{3}{4} Leftrightarrow x = {log _3}dfrac{3}{4} Leftrightarrow x = 1 - {log _3}4left( {TM} right)end{array})

Loigiaihay.com