Cách giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn & bài tập ứng dụng

Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 10 phần Đại số. Vậy hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có dạng như thế nào? Làm sao để giải một hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn? Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có ứng dụng như thế nào? Để hiểu rõ hơn về các vấn đề này, chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Dạng của hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có dạng tổng quát là:

Trong đó, các hệ số của 3 ẩn x, y, z trong mỗi phương trình của hệ không đồng thời bằng 0.

Bộ 3 số (x; y; z) được gọi là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn nếu bộ 3 số (x; y; z) nghiệm đúng cả 3 phương trình của hệ.

Ví dụ: là một hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có nghiệm là (2; 2; 2)

2. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Để giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. Từ một phương trình trong ba phương trình trong hệ, ta rút một ẩn và biểu diễn theo hai ẩn còn lại. Sau đó, thế vào hai phương trình còn lại trong hệ.

Ví dụ: Giải hệ phương trình

Giải

• Từ phương trình thứ nhất trong hệ: x - y + z = 2

Ta có: x = 2 + y - z

• Thế x = 2 + y - z vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có:

2(2 + y - z) + y - z = 4

4 + 2y - 2z + y - z = 4

3y - 3z = 0

y - z = 0 (1)

• Thế x = 2 + y - z vào phương trình thứ ba trong hệ, ta có:

2 + y - z + 3z = 8

y + 2z = 6 (2)

• Từ (1) và (2), ta thu được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:

• Với y = 2; z = 2 ta có: x = 2 + 2 - 2 = 2

Vậy, hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (2; 2; 2)

3. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn vào giải quyết một số bài toán

Ví dụ: Tìm một số có 4 chữ số. Biết số đó chia hết cho cả 2 và 5. Tổng các chữ số bằng 18. Chữ số ở hàng chục gấp 2 lần chữ số ở hàng nghìn và hiệu của chữ số ở hàng trăm và chữ số ở hàng chục bằng 3.

Giải

• Gọi số có 4 chữ số là (a, b, c, d N; 0 < a 9; 0 b, c, d 9)
• Vì chia hết cho cả 2 và 5 nên d = 0
• Vì tổng các chữ số bằng 18 nên ta có phương trình:

a + b + c = 18 (1)

• Vì chữ số ở hàng chục gấp 2 lần chữ số ở hàng nghìn nên ta có phương trình:

c = 2a

2a - c = 0 (2)

• Vì hiệu của chữ số ở hàng trăm và chữ số ở hàng chục bằng 3 nên ta có phương trình:

b - c = 3 (3)

• Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn:

Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn nêu trên. Ta thu được a = 3; b = 9; c = 6.

Vậy, số có 4 chữ số đó là 3960.

4. Bài tập hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Bài 1: Cho hệ phương trình và các câu phát biểu sau đây:

(1) Hệ phương trình đã cho là hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

(2) Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (6; 5; -13)

(3) Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (6; -5; -13)

(4) (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình nêu trên trong đó x + y + z < 0

(5) (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình nêu trên trong đó x.y.z < 0

Trong các phát biểu nêu trên, phát biểu đúng là:

1. (1), (3), (4)
2. (1), (2), (5)
3. (1), (2), (5)
4. (1), (3), (4)

Hệ phương trình đã cho là hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn x, y, z nên (1) đúng

Giải hệ phương trình đã cho, ta thu được (x; y; z) = (6; -5; -13) nên (3) đúng; (2) sai

Ta có: x + y + z = 6 + (-5) + (-13) = -12 < 0 nên (4) đúng

x.y.z = 6.(-5).(-12) = 390 > 0 nên (5) sai

Chọn câu A

Bài 2: Khi giải một hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. Ta có thể thu được kết quả nào sau đây về số nghiệm?

1. Có duy nhất 1 nghiệm
2. Có vô số nghiệm
3. Vô nghiệm
4. A, B, C đều đúng

Chọn câu D

Bài 3: Biết trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ hai là 38. Trung bình cộng của số thứ hai và số thứ ba là 52. Trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ ba là 66. Khi đó, số thứ hai là:

1. 52
2. 80
3. 24
4. A, B, C đều sai

Tổng của số thứ nhất và số thứ hai là:

38.2 = 76

Tổng của số thứ hai và số thứ ba là:

52.2 = 104

Tổng của số thứ nhất và số thứ ba là:

66.2 = 132

Gọi x, y, z lần lượt là số thứ nhất, số thứ hai và số thứ ba.

Khi đó, ta có hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn:

Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn nêu trên. Ta thu được x = 52; y = 24; z = 80.

Vậy, số thứ hai là 24

Chọn câu C

Bài 4: Cho hệ phương trình . Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. (x; y; z) = (0; 0; -2) là một nghiệm của hệ phương trình
2. Hệ phương trình có vô số nghiệm
3. Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình
4. Hệ phương trình vô nghiệm

+ Đối với phương trình thứ nhất trong hệ: -3x - 9y + 6z = -12

Khi chia cả hai vế cho -3 ta thu được phương trình: x + 3y -2z = 4

Phương trình này trùng với phương trình thứ ba trong hệ, nên từ hệ phương trình ban đầu ta có thể viết lại dưới dạng:

(*)

Vậy, câu C đúng

+ Để tìm nghiệm của hệ phương trình (*), ta cho trước giá trị của một ẩn và tìm giá trị của hai ẩn còn lại

Vậy, câu B đúng

+ Cho x = 0, hệ phương trình (*) trở thành:

Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn y, z ta thu được kết quả y = 0; z = -2

Do đó, (x; y; z) = (0; 0; -2) là một nghiệm của hệ phương trình

Vậy, câu A đúng

Chọn câu D

Bài 5: Hệ phương trình có nghiệm là:

1. (x; y; z) = (1; 2; 3)
2. (x; y; z) = (1; 2; -3)
3. (x; y; z) = (1; -2; 3)
4. (x; y; z) = (1; -2; -3)

+ Từ phương trình thứ hai trong hệ, ta có:

y = 3 - x = 3 - 1 = 2

+ Từ phương trình thứ ba trong hệ, ta có:

z = y - 5 = 2 - 5 = -3

Vậy, (x; y; z) = (1; 2; -3)

Chọn câu B

Trên đây là một số nội dung kiến thức quan trọng liên quan đến hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể phần nào củng cố được kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang