Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian Lớp 12 Giải Chi Tiết

Các dạng toán trắc nghiệm hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. Dạng 1. Tìm tọa độ của vectơ dựa vào định nghĩa

Phương pháp: $vec a,, = ,{a_1}overrightarrow i + {a_2}overrightarrow j + {a_3}overrightarrow k $ $ Rightarrow vec a = ({a_1};,,{a_2};,,{a_3})$

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Tọa độ của vectơ $vec j$ là

A. $left( {1;1;1} right)$.

B. $left( {1;0;1} right)$.

C. $left( {0;1;0} right)$.

D. $left( {1;1;0} right)$.

Lời giải

Chọn C.

$vec j = 0vec i + 1vec j + 0vec k Rightarrow vec jleft( {0;1;0} right)$.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Tọa độ của vectơ $ - 5vec k$ là

A. $left( {0;0; - 5} right)$.

B. $left( { - 5; - 5;0} right)$.

C. $left( { - 5; - 5; - 5} right)$.

D. $left( { - 5;0; - 5} right)$.

Lời giải

Chọn A.

$ - 5vec k = 0vec i + 0vec j - 5vec k Rightarrow vec jleft( {0;0; - 5} right)$.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $vec a = - vec i + 2vec j - 3vec k$. Tọa độ của vectơ $vec a$ là

A. $left( { - 1;2; - 3} right)$.

B. $left( {2; - 3; - 1} right)$.

C. $left( {2; - 1; - 3} right)$.

D. $left( { - 3;2; - 1} right)$.

Lời giải

Chọn A.

$vec a = - vec i + 2vec j - 3vec k Rightarrow vec aleft( { - 1;2; - 3} right)$.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ giả sử $vec u = 2vec i + 3vec j - vec k$, khi đó tọa độ véc tơ $vec u$ là

A. $left( { - 2;3;1} right)$.

B. $left( {2;3; - 1} right)$.

C. $left( {2; - 3; - 1} right)$.

D. $left( {2;3;1} right)$.

Lời giải

Chọn B.

$vec u = 2vec i + 3vec j - vec k Leftrightarrow vec u = left( {2;3; - 1} right)$.

Câu 5. Trong không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$, cho $vec a = - vec i + 2vec j - 3vec k$. Tọa độ của vectơ $vec a$ là:

A. $vec aleft( { - 1;2; - 3} right)$.

B. $vec aleft( {2; - 3; - 1} right)$.

C. $vec aleft( { - 3;2; - 1} right)$.

D. $vec aleft( {2; - 1; - 3} right)$.

Lời giải

Chọn A.

+) Ta có $vec a = xvec i + yvec j + zvec k Leftrightarrow vec aleft( {x;y;z} right)$ nên $vec aleft( { - 1;2; - 3} right)$.

II. Dạng 2: Xác định tọa độ của điểm

Phương pháp:

* $overrightarrow {OM} , = (x;,,y;,,z) Leftrightarrow M = (x;,,y;,,z)$

* Cho $vec a = (x;,,y;,,z),,vec b = (x’;,,y’;,,z’)$ , khi đó

$overrightarrow a = overrightarrow b Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = x’ y = y’ z = z’ end{array} right.$

* $ABCD$ hình bình hành $ Rightarrow overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $.

* Cho $Aleft( {{x_A};,{y_A};,{z_A}} right)$, $Bleft( {{x_B};,{y_B};,{z_B}} right)$, khi đó $overrightarrow {AB} = left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} right)$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( { - 2;3;5} right)$. Tọa độ của véctơ $overline {OA} $ là:

A. $left( { - 2;3;5} right)$.

B. $left( {2; - 3;5} right)$.

C. $left( { - 2; - 3;5} right)$.

D. $left( {2; - 3; - 5} right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $overrightarrow {OA} = left( {{x_A};{y_A};{z_A}} right) = left( { - 2;3;5} right)$

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( {1;1; - 1} right)$ và $Bleft( {2;3;2} right)$. Vectơ $overrightarrow {AB} $ có tọa độ là

A. $left( {1;2;3} right)$

B. $left( { - 1; - 2;3} right)$

C. $left( {3;5;1} right)$

D. $left( {3;4;1} right)$

Lời giải

Chọn A

$overrightarrow {AB} = left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} right) = left( {1;2;3} right)$

Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( {1;2; - 1} right),overrightarrow {AB} = left( {1;3;1} right)$ thì tọa độ của điểm $B$ là:

A. $Bleft( {2;5;0} right)$.

B. $Bleft( {0; - 1; - 2} right)$.

C. $Bleft( {0;1;2} right)$.

D. $Bleft( { - 2; - 5;0} right)$

Lời giải

Chọn A

Gọi $Bleft( {x;y;z} right)$

Có $overrightarrow {AB} = left( {1;3;1} right) = left( {x - 1;y - 2;z + 1} right)$

$ Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 2} {y = 5} {z = 0} end{array} Rightarrow Bleft( {2;5;0} right)} right.$

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Aleft( {3;5;2} right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là

A. $left( {0;5;2} right)$.

B. $left( {0;5;0} right)$.

C. $left( {3;0;0} right)$.

D. $left( {0;0;2} right)$.

Lời giải

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của điểm $Aleft( {3;5;2} right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là $left( {3;0;0} right)$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3;1; - 1} right)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là

A. $left( {3;0; - 1} right)$.

B. $left( {0;1;0} right)$.

C. $left( {3;0;0} right)$.

D. $left( {0;0; - 1} right)$.

Lời giải

Chọn B

Hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3;1; - 1} right)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $left( {0;1;0} right)$.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3; - 1;1} right)$ trên trục $Oz$ có tọa độ là

A. $left( {3; - 1;0} right)$.

B. $left( {0;0;1} right)$.

C. $left( {0; - 1;0} right)$.

D. $left( {3;0;0} right)$.

Lời giải

Chọn B

Hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {3; - 1;1} right)$ trên trục $Oz$ có tọa độ là $left( {0;0;1} right)$

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {1;2; - 3} right)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

A. $left( {0;2; - 3} right)$.

B. $left( {1;0; - 3} right)$.

C. $left( {1;2;0} right)$.

D. $left( {1;0;0} right)$.

Lời giải

Chọn C.

Hình chiếu của điểm $Aleft( {a;b;c} right)$ lên mặt phẳng $left( {Oxy} right)$ là điểm $A’left( {a;b;0} right)$ nên hình chiếu của điểm $Aleft( {1;2; - 3} right)$ lên mặt phẳng $left( {Oxy} right)$ là điểm $A’left( {1;2;0} right)$.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $Mleft( {2;1; - 1} right)$ trên mặt phẳng $left( {Ozx} right)$ có tọa độ là

A. $left( {0;1;0} right)$.

B. $left( {2;1;0} right)$.

C. $left( {0;1; - 1} right)$.

D. $left( {2;0; - 1} right)$.

Lời giải

Chọn D

Hình chiếu của $Mleft( {2;1; - 1} right)$ lên mặt phẳng $left( {Ozx} right)$ là điểm có tọa độ $left( {2;0; - 1} right)$.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {3; - 1;1} right)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $left( {{text{Oyz}}} right)$ là điểm

A. $Mleft( {3;0;0} right)$

B. $Nleft( {0; - 1;1} right)$

C. $Pleft( {0; - 1;0} right)$

D. $Qleft( {0;0;1} right)$

Lời giải

Chọn B

Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng $left( {{text{Oyz}}} right)$, ta giữ lại các thành phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của $Aleft( {3; - 1;1} right)$ lên $left( {Oyz} right)$ là điểm $Nleft( {0; - 1;1} right)$.

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ $left( {{text{Oyz}}} right)$ ?

A. $Mleft( {3;4;0} right)$.

B. $Pleft( { - 2;0;3} right)$.

C. $Qleft( {2;0;0} right)$.

D. $Nleft( {0;4; - 1} right)$.

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng tọa độ $left( {Oyz} right)$ có phương trình là $x = 0 Rightarrow Nleft( {0;4; - 1} right) in left( {Oyz} right)$.

Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $Mleft( {4;5;6} right)$. Hình chiếu của $M$ xuống mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ là $M’$. Xác định tọa độ $M’$.

A. $M’left( {4;5;0} right)$.

B. $M’left( {4;0;6} right)$.

C. $M’left( {4;0;0} right)$.

D. $M’left( {0;5;6} right)$

Lời giải

Chọn D

Hình chiếu của $Mleft( {4;5;6} right)$ xuống mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ là $M’left( {0;5;6} right)$.

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {x;y;z} right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $left( {Oxz} right)$ thì $M’left( {x;y; - z} right)$.

B. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ thì $M’left( {x;y; - z} right)$.

C. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $left( {Oxy} right)$ thì $M’left( {x;y; - z} right)$.

D. Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ thì $M’left( {2x;2y;0} right)$.

Lời giải

Chọn C

Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $left( {Oxz} right)$ thì $M’left( {x; - y;z} right)$. Do đó phương án Asai.

Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ thì $M’left( { - x;y; - z} right)$. Do đó phương án $B$ sai.

Nếu $M’$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ thì $M’left( { - x; - y; - z} right)$. Do đó phương án $D$ sai.

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, tọa độ điểm đối xứng của $Mleft( {1;2;3} right)$ qua mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ là

A. $left( {0;2;3} right)$.

B. $left( { - 1; - 2; - 3} right)$.

C. $left( { - 1;2;3} right)$.

D. $left( {1;2; - 3} right)$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $left( {Oyz} right) Rightarrow Hleft( {0;2;3} right)$

Gọi $M’$ là điểm đối xứng với $Mleft( {1;2;3} right)$ qua mặt phẳng $left( {{text{Oyz}}} right)$

$ Rightarrow H$ là trung điểm của $MM’ Rightarrow M’left( { - 1;2;3} right)$.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {2; - 3;5} right)$. Tìm tọa độ $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oy$.

A. $A’left( {2;3;5} right)$.

B. $A’left( {2; - 3; - 5} right)$.

C. $A’left( { - 2; - 3;5} right)$.

D. $A’left( { - 2; - 3; - 5} right)$.

Lời giải

Chọn D

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $Aleft( {2; - 3;5} right)$ lên $Oy$. Suy ra $Hleft( {0; - 3;0} right)$

Khi đó $H$ là trung điểm đoạn $AA’$.

$left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{x_{A’}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2} {{y_{A’}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3} {{z_{A’}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5} end{array} Rightarrow A’left( { - 2; - 3; - 5} right)} right.$

Câu 20. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1; - sqrt 2 ;sqrt 3 } right)$. Tìm điểm $M’ in Ox$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM’$ ngắn nhất.

A. $M’left( { - 1;0;0} right)$.

B. $M’left( {1;0;0} right)$.

C. $M’left( {1;0;sqrt 3 } right)$.

D. $M’left( {1; - sqrt 2 ;0} right)$.

Lời giải

Chọn B.

$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên trục $Ox Rightarrow M’left( {1;0;0} right)$

Câu 21. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {sqrt 2 ;0;sqrt 3 } right)$. Tìm điểm $M’ in Oy$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM’$ ngắn nhất.

A. $M’left( {0; - sqrt 2 ;0} right)$.

B. $M’left( {sqrt 2 ;0;0} right)$.

C. $M’left( {0;0;sqrt 3 } right)$.

D. $M’left( {0;0;0} right)$.

Lời giải

Chọn D.

$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên trục $Oy Rightarrow M’left( {0;0;0} right)$

Câu 22. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1;2; - sqrt 3 } right)$. Tìm điểm $M’ in Oz$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM’$ ngắn nhất.

A. $M’left( {1;0; - sqrt 3 } right)$.

B. $M’left( {0;2; - sqrt 3 } right)$.

C. $M’left( {0;0; - sqrt 3 } right)$.

D. $M’left( {0;0;sqrt 3 } right)$.

Lời giải

Chọn C.

$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên trục $Oz Rightarrow M’left( {0;0; - sqrt 3 } right)$

Câu 23. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Aleft( {1;1;2} right)$. Tìm điểm $A’ in left( {Oxy} right)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AA’$ ngắn nhất.

A. $A’left( { - 1;1;0} right)$.

B. $A’left( {1;1;0} right)$.

C. $A’left( {2;2;0} right)$.

D. $A’left( {2; - 1;2} right)$.

Lời giải

Chọn B.

$AA’$ ngắn nhất khi điểm $A’$ là hình chiếu điểm $A$ trên mặt phẳng $left( {Oxy} right) Rightarrow A’left( {1;1;0} right)$

Câu 24. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1;1 - sqrt 2 ;2 + sqrt 5 } right)$. Tìm điểm $M’ in left( {Oxz} right)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM$ ‘ ngắn nhất.

A. $M’left( {1;1 + sqrt 2 ;2 - sqrt 5 } right)$.

B. $M’left( {1;1 - sqrt 2 ;0} right)$.

C. $M’left( {1;0;2 + sqrt 5 } right)$.

D. $M’left( {0;1 - sqrt 2 ;2 + sqrt 5 } right)$.

Lời giải

Chọn C.

$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên mặt phẳng $left( {Oxz} right) Rightarrow M’left( {1;0;2 + sqrt 5 } right)$

Câu 25. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $Mleft( {1 + sqrt 2 ;2;1 - sqrt 2 } right)$. Tìm điểm $M’ in left( {Oyz} right)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM$ ‘ ngắn nhất.

A. $M’left( {1 + sqrt 2 ;0;1 - sqrt 2 } right)$.

B. $M’left( {0;2;1 - sqrt 2 } right)$.

C. $M’left( {0; - 2;1 - sqrt 2 } right)$.

D. $M’left( {0; - 2;1 + sqrt 2 } right)$.

Lời giải

Chọn B.

$MM’$ ngắn nhất khi điểm $M’$ là hình chiếu điểm $M$ trên mặt phẳng $left( {Oyz} right) Rightarrow M’left( {0;2;1 - sqrt 2 } right)$

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( {1;0;3} right),Bleft( {2;3; - 4} right),Cleft( { - 3;1;2} right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

A. $Dleft( { - 4; - 2;9} right)$.

B. $Dleft( { - 4;2;9} right)$.

C. $Dleft( {4; - 2;9} right)$.

D. $Dleft( {4;2; - 9} right)$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $Dleft( {x;y;z} right)$.

Để $ABCD$ là hình bình hành

$ Leftrightarrow overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC} Leftrightarrow left( {1;3; - 7} right) = left( { - 3 - x;1 - y;2 - z} right)$

$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = - 4} {y = - 2} {z = 9} end{array} Rightarrow Dleft( { - 4; - 2;9} right)} right.$.

Câu 27. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$. Biết $A = left( {1;0;1} right),B = left( {2;1;2} right)$ và $D = left( {1; - 1;1} right)$. Tọa độ điểm $C$ là

A. $left( {2;0;2} right)$.

B. $left( {2;2;2} right)$.

C. $left( {2; - 2;2} right)$.

D. $left( {0; - 2;0} right)$.

Lời giải

Chọn A

Gọi tọa độ điểm $C$ là $left( {x;y;z} right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB} $

Ta có $overrightarrow {DC} = left( {x - 1;y + 1;z - 1} right)$ và $overrightarrow {AB} = left( {1;1;1} right)$

Suy ra $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x - 1 = 1} {y + 1 = 1} {z - 1 = 1} end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 2} {y = 0} {z = 2} end{array}} right.} right.$

Vậy tọa độ điểm $C$ là $left( {2;0;2} right)$.

Câu 28. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $Aleft( {1;0;1} right),Bleft( {2;1;2} right),Dleft( {1; - 1;1} right)$, $C’left( {4;5; - 5} right)$. Tính tọa độ đỉnh $A’$ của hình hộp.

A. $A’left( {4;6; - 5} right)$.

B. $A’left( {2;0;2} right)$.

C. $A’left( {3;5; - 6} right)$.

D. $A’left( {3;4; - 6} right)$.

Lời giải

Chọn C

Theo quy tắc hình hộp ta có: $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} = overrightarrow {AC’} $.

Suy ra $overrightarrow {AA’} = overrightarrow {AC’} - overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} $.

Lại có: $overrightarrow {AC’} = left( {3;5; - 6} right),overrightarrow {AB} = left( {1;1;1} right),overrightarrow {AD} = left( {0; - 1;0} right)$.

Do đó: $overrightarrow {AA’} = left( {2;5; - 7} right)$.

Suy ra $A’left( {3;5; - 6} right)$.

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$, biết rằng $Aleft( { - 3;0;0} right)$, $Bleft( {0;2;0} right),Dleft( {0;0;1} right),A’left( {1;2;3} right)$. Tìm tọa độ điểm $C’$.

A. $C’left( {10;4;4} right)$.

B. $C’left( { - 13;4;4} right)$.

C. $C’left( {13;4;4} right)$.

D. $C’left( {7;4;4} right)$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $C’left( {x;y;z} right)$.

Ta có $overrightarrow {AB} = left( {3;2;0} right);overrightarrow {AD} = left( {3;0;1} right);overrightarrow {AA’} = left( {4;2;3} right)$.

Mà $overrightarrow {AC’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} $

$ Rightarrow overrightarrow {AC’} = left( {10;4;4} right) Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 10 + 3} {y = 4 - 0} {z = 4 - 0} end{array} Rightarrow C’left( {13;4;4} right)} right.$.

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$. Biết $Aleft( {2;4;0} right)$, $Bleft( {4;0;0} right),Cleft( { - 1;4; - 7} right)$ và $D’left( {6;8;10} right)$. Tọa độ điểm $B’$ là

A. $B’left( {8;4;10} right)$.

B. $B’left( {6;12;0} right)$.

C. $B’left( {10;8;6} right)$.

D. $B’left( {13;0;17} right)$.

Lời giải

Chọn D

Giả sử $Dleft( {a;b;c} right),B’left( {a’;b’;c’} right)$

Gọi $O = AC cap BD Rightarrow Oleft( {frac{1}{2};4;frac{{ - 7}}{2}} right) Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a = - 3} {b = 8} {c = - 7} end{array}} right.$.

Vậy $overrightarrow {DD’} = left( {9;0;17} right),overrightarrow {BB’} = left( {a’ - 4;b’;c’} right)$.

Do $ABCD cdot A’B’C’D’$ là hình hộp nên $overrightarrow {DD’} = overrightarrow {BB’} Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a’ = 13} {b’ = 0} {c’ = 17} end{array}} right.$.

Vậy $B’left( {13;0;17} right)$.