Các Dạng Toán Bài Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng Giải Chi Tiết

Các dạng toán bài đường thẳng song song với mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc đồng quy 1. Phương pháp $left. begin{gathered} aparallel b hfill b subset left( P right) hfill a notsubset left( P right) hfill end{gathered} right} Rightarrow aparallel left( P right)$

Nếu không có sẵn đường thẳng b trong mặt phẳng (P) thì ta tìm đường thẳng b bằng cách chọn một mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P), giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng b cần tìm. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.

a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh $GG’//left( {DCEF} right)$.

Lời giải

a. Ta có OO’ là đường trung bình của tam giác ACE và tam giác BDF nên: $OO’parallel CE$ và $OO’parallel DF$.

Mà $CE subset left( {BCE} right),,,DF subset left( {ADF} right)$ nên $OO’parallel left( {BCE} right)$ và $OO’parallel left( {ADF} right)$.

b. Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có:

$frac{{AG}}{{AO}} = frac{{AG’}}{{AO’}} = frac{2}{3}$

Vậy $GG’parallel OO’$ Cd $OO’parallel CE$ nên $GG’parallel CE$.

Mà $CE subset left( {CDEF} right)$ nên $GG’parallel left( {DCEF} right)$.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho $MB = 2MC$.

Chứng minh $MGparallel left( {ACD} right)$.

Lời giải

Gọi E là trung điểm của AD. Ta có: $frac{{BG}}{{BE}} = frac{2}{3}$ (do G là trọng tâm của tam giác ABD).

Mà $frac{{BM}}{{BC}} = frac{2}{3}$ (do $MB = 2MC$) nên $frac{{BG}}{{BE}} = frac{{BM}}{{BC}}$.

Suy ra $MGparallel CE$.

Mà $CE subset left( {ACD} right)$ do đó $MGparallel left( {ACD} right)$.

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng $MNparallel left( {ABD} right)$ và $MNparallel left( {ACD} right)$.

Lời giải

Gọi H là trung điểm của BC, ta có: $M in AH,,,N in DH$. Do đó:

$frac{{HM}}{{HA}} = frac{{HN}}{{HD}} = frac{1}{3}$ (tính chất trọng tâm tam giác) $ Rightarrow MNparallel AD$.

Như vậy:

$begin{gathered} left. begin{gathered} MNparallel AD hfill AD subset left( {ABD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow MNparallel left( {ABD} right) hfill left. begin{gathered} MNparallel AD hfill AD subset left( {ACD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow MNparallel left( {ACD} right) hfill end{gathered} $

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC; $left( alpha right)$ là mặt phẳng qua M và song song với AB và CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

Lời giải

Ta có: $left. begin{gathered} ABparallel left( alpha right) hfill left( {ABC} right) supset AB hfill left( {ABC} right) cap left( alpha right) = MQ hfill end{gathered} right} Rightarrow MQparallel AB$ (1)

Tương tự, ta có: $NPparallel AB$ (2)

$left. begin{gathered} CDparallel left( alpha right) hfill left( {ACD} right) supset CD hfill left( {ACD} right) cap left( alpha right) = PQ hfill end{gathered} right} Rightarrow PQparallel CD$ (3)

Tương tự, ta có: $MNparallel CD$ (4)

Từ (1) và (2) suy ra: $MQparallel NP$ (5)

Từ (3) và (4) suy ra: $PQparallel MN$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra MNPQ là hình bình hành.

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE).

Lời giải

a. Ta có:

$left. begin{gathered} FGparallel AD hfill AD subset left( {SAD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow FGparallel left( {SAD} right)$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $FGparallel left( {SBC} right)$

b. Gọi $left( {EFG} right) cap SD = H$. Ta có:

$left. begin{gathered} left( {ABCD} right) cap left( {EFG} right) = FG hfill left( {ABCD} right) cap left( {SAD} right) = AD hfill left( {SAD} right) cap left( {EFG} right) = EH hfill FGparallel AD hfill end{gathered} right} Rightarrow EHparallel ADparallel FG$

Suy ra H là trung điểm của SD.

Như vậy:

$left. begin{gathered} GHparallel SC (tính,chất,đường,trung,bình) hfill HG subset left( {EFG} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow SCparallel left( {EFG} right)$.

Tương tự, ta có: $SBparallel left( {EFG} right)$.

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. $left( alpha right)$ là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy xác định hình tính của tứ giác MNPQ?

Lời giải

Ta có:

$left. begin{gathered} ABparallel left( alpha right) hfill M in left( alpha right) cap left( {SAB} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow left( alpha right) cap left( {SAB} right) = MQ//AB$ (1)

Mặt khác:

$left. begin{gathered} DC//AB Rightarrow DC//QM,(*) hfill QM subset (alpha ) hfill end{gathered} right} Rightarrow DC//(alpha )$

Như vậy:

$left. begin{gathered} DC//left( alpha right) hfill PN = left( alpha right) cap left( {SCD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow PN//DC$ (2)

Từ (*) và (2) suy ra MNPQ là hình bình thang.

Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng 1. Phương pháp Ngoài hai cách đã đề cập ở Bài 1 và Bài 2 ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cách 1. Dùng định lí 2.

$left. begin{gathered} aparallel left( P right) hfill a subset left( Q right) hfill left( P right) cap left( Q right) = d hfill end{gathered} right} Rightarrow dparallel a$

Cách 2. Dùng hệ quả 2.

$left. begin{gathered} left( P right)parallel a hfill left( Q right)parallel a hfill left( P right) cap left( Q right) = d hfill end{gathered} right} Rightarrow dparallel a$

Tìm thiết diện là tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu ở trên, cho đến khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD. a. Chứng minh $MNparallel left( {SBC} right),,,SBparallel left( {OMN} right),,,SCparallel left( {OMN} right)$.

b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN). Thiết diện là hình gì?

Lời giải

a. Ta có $MNparallel AD$ (MN là đường trung bình của tam giác SAD) và $ADparallel BC$ (tứ giác ABCD là hình bình hành), suy ra $MNparallel BC$.

Mà $BC subset left( {SBC} right)$ nên $MNparallel left( {SBC} right)$.

Ta có: $ONparallel SB$ (ON là đường trung bình của tam giác SBD) nên $ON subset left( {OMN} right)$.

Do đó: $SBparallel left( {OMN} right)$.

Ta có $OMparallel SC$ (OM là đường trung bình của $Delta SAC)$ và $OM subset left( {OMN} right)$.

Vậy $SCparallel left( {OMN} right)$.

b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có: $PQparallel AD$, suy ra $PQparallel MN$.

Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là $left( {OMN} right) equiv left( {MNPQ} right)$.

Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ $left( {MNparallel PQ} right)$.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD.

a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD).

b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?

Lời giải

a. Ta có:

$left. begin{gathered} left( P right)parallel CD hfill CD subset left( {ICD} right) hfill M in left( P right) cap left( {ICD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow left( P right) cap left( {ICD} right) = Mxparallel CD$.

Trong mp(ICD) ta có Mx cắt IC tại E và cắt ID tại F. Suy ra $EF = left( P right) cap left( {ICD} right)$.

b. Ta có:

$left. begin{gathered} left( P right)parallel AB hfill AB subset left( {ABC} right) hfill E in left( P right) cap left( {ABC} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow left( P right) cap left( {ABC} right) = Eyparallel AB$.

Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S.

Suy ra $PS = left( P right) cap left( {ABC} right)$.

Ta có:

$left. begin{gathered} left( P right)parallel AB hfill AB subset left( {ABD} right) hfill F in left( P right) cap left( {ABD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow left( P right) cap left( {ABD} right) = Ftparallel AB$.

Trong mp(ABD) ta có Ft cắt BD tại Q và cắt AD tại R.

Suy ra $QR = left( P right) cap left( {ABD} right)$.

Khi đó: $PQ = left( P right) cap left( {CBD} right)$ và $RS = left( P right) cap left( {ACD} right)$.

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS.

Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được: $PSparallel AB,,,QRparallel AB$ nên $PSparallel QR$. (1)

Mặt khác, ta có:

$left. begin{gathered} left. begin{gathered} left( P right)parallel CD hfill RS = left( P right) cap left( {ACD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow RSparallel CD hfill left. begin{gathered} left( P right)parallel CD hfill PQ = left( P right) cap left( {BCD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow PQparallel CD hfill end{gathered} right} Rightarrow RSparallel PQ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện PQRS là hình bình hành.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng $left( P right)$ qua MN và song song với SC.

a) Tìm các giao tuyến của $left( P right)$ với các mặt phẳng $left( {SBC} right)$, $left( {SCD} right)$, $left( {SAC} right)$.

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $left( P right)$.

Lời giải

a) Trong mặt phẳng $left( {SBC} right)$, từ M kẻ đường thẳng song song với SC cắt BC tại Q.

Trong mặt phẳng $left( {SCD} right)$, từ N kẻ đường thẳng song song với SC cắt SD tại P.

Khi đó giao tuyến của $left( P right)$ với $left( {SBC} right)$ và $left( {SCD} right)$ lần lượt là MQ và NP.

Gọi $I = AC cap NQ$. Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại H.

Khi đó $left( P right) cap left( {SAC} right) = IH$.

b) Thiết diện của mặt phẳng $left( P right)$ với khối chóp là ngũ giác MQNPH.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC, H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAC, SBC.

a) Chứng minh $AB//left( {SMN} right)$, $HK//left( {SAB} right)$.

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $left( {CHK} right)$ và $left( {ABC} right)$.

c) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $left( P right)$ đi qua MN và $left( P right)//SC$. Thiết diện là hình gì?

Lời giải

a) Dễ thấy MN là đường trung bình trong tam giác SAB do đó $AB//MN Rightarrow AB//left( {SMN} right)$

H, K là trọng tâm của tam giác SAC, SBC

suy ra $frac{{SH}}{{SM}} = frac{{SK}}{{SN}} = frac{2}{3} Rightarrow HK//MN//AB Rightarrow HK//left( {SAB} right)$.

b) Do $HK//AB$ nên giao tuyến của $left( {CAB} right)$ và $left( {CHK} right)$ là đường thẳng qua C và song song với HK và AB.

c) Qua M dựng $MF//SC$$left( {F in SA} right)$ thì MF là đường trung bình trong tam giác SCA $ Rightarrow $ F là trung điểm của SA.

Tương tự dựng $NE//SC$$left( {E in SB} right)$ thì E là trung điểm của SB.

Khi đó thiết diện là hình bình hành MNEF vì có $MN//EF$, $MN = EF = frac{{AB}}{2}$.