Tổng hợp lý thuyết tổ hợp xác suất & các bài toán xác suất

Kiến thức về tổ hợp xác suất không chỉ là một phần quan trọng trong chương trình phổ thông, mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác. Thế nhưng, bài toán xác suất lại khá phức tạp. Do đó, để làm được dạng bài tập này, học sinh cần ghi nhớ và biết cách làm bài toán xác suất chính xác. Cùng Trường Việt Anh tìm hiểu tổ hợp xác suất là gì và các dạng toán tổ hợp xác suất qua bài viết sau đây.

Lý thuyết tổ hợp xác suất

Ta có khái niệm về toán xác suất như sau: Cho một tập hợp A gồm n phần tử với một số nguyên dương (0 ≤ k ≤ n), ta gọi tổ hợp chập k của n phần tử là tập con của A gồm k phần tử mà không cần quan tâm đến thứ tự sắp xếp.

Ví dụ: Cho tập hợp A = {1, 2, 3}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 phần tử từ tập hợp A?

Đáp án: Có 3 cách chọn 2 phần tử từ tập hợp A mà không cần quan tâm đến thứ tự sắp xếp là {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Các công thức tính tổ hợp

Dạng toán tổ hợp xác suất là dạng toán khá “hóc búa”, nhưng hoàn toàn có thể giải được nếu bạn áp dụng đúng công thức giải tích tổ hợp xác suất. Dưới đây là một số công thức tổ hợp xác suất mà học sinh cần biết:

Tổ hợp lặp

Cho tập {A= a1; a2; … ; an} và số tự nhiên K bất kỳ. Theo đó, một tổ hợp lặp chập k của n phần tử sẽ là một tập hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. Vì vậy, số tổ hợp lặp chập k của n phần tử sẽ có công thức tính xác suất như sau:

Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử, mỗi tập con gồm (1 <= k <= n) phần tử của A sẽ được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử. Cụ thể, số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

Các công thức tính xác suất

Để tính toán xác suất, ta cần sử dụng các công thức tính xác suất phù hợp. Cụ thể:

Công thức cộng xác suất

• Biến cố hợp

Cho hai biến cố A, B cùng liên quan đến phép thử T. Theo đó, biến cố “A hoặc B xảy ra” sẽ được gọi là hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu A∪B). Cho k biến cố A1, A2,…,Ak cùng liên quan đến phép thử T, biến cố “có ít nhất một trong các biến cố A1, A2,…, Ak xảy ra” được gọi là hợp của k biến cố A1, A2,…, Ak (ký hiệu A1∪A2∪…∪Ak).

• Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A, B cùng liên quan đến phép thử T, hai biến cố này được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi A B= Ø.

• Biến cố đối

Cho biến cố A khi đó biến cố “Không A” được gọi là biến cố đối của A, kí hiệu A. Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc, thế nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau. Khi đó công thức toán xác suất của biến cố đối A là A = A => P(A) = 1 - P(A).

• Quy tắc cộng xác suất

• Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A∪B xảy ra là P(A∪B) = P(A) + P(B).
• Cho k biến cố A1, A2,…, Ak đôi một xung khắc, xác suất để ít nhất một trong các biến cố A1, A2,…, Ak xảy ra là P(A1∪A2∪…∪Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak).

Công thức nhân xác suất

• Biến cố giao

Cho hai biến cố A, B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “cả A và B cùng xảy ra” sẽ được gọi là giao của hai biến cố A, B (kí hiệu là AB hay AB).

• Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A, B cùng liên quan đến một phép thử T. Theo đó, hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì tương tự A và B, A và B, A và B cũng độc lập với nhau.

• Quy tắc nhân xác suất

• Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì ta luôn có P(AB) = P(A).P(B)
• Cho k biến cố A1, A2,…, Ak độc lập với nhau thì P(A1, A2,…, Ak) = P(A1).P(A2)…P(Ak).

Cách học tốt toán tổ hợp xác suất

Tổ hợp xác suất là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Để học tốt phần này, học sinh có thể tham khảo một số kinh nghiệm học toán xác suất như sau:

• Nắm chắc lý thuyết cơ bản: Việc nắm chắc lý thuyết về bài toán tổ hợp xác suất sẽ giúp bạn có thể tính toán một cách nhanh chóng và chính xác.
• Luyện tập thường xuyên: Đây là cách giúp các bạn làm quen với các dạng toán tổ hợp xác suất, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số. Học sinh có thể tham khảo những nguồn tài liệu uy tín được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc gia Hà Nội,… để luyện giải bài toán tổ hợp xác suất.
• Sử dụng máy tính cầm tay: Các bạn học sinh có thể học cách giải nhanh các bài toán về xác suất bằng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian làm bài và trả lời các câu hỏi trắc nghiệm chính xác hơn.

>>>> Có thể bạn quan tâm:

• Cách học giỏi môn toán lớp 10 | Chinh phục toán 10 cấp tốc
• 8 Cách học tốt hình học không gian một cách dễ dàng nhất

Một số dạng bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản - nâng cao (Kèm lời giải chi tiết)

Để nắm vững lý thuyết các bài toán xác suất, việc thực hành và làm bài tập thường xuyên là rất quan trọng. Các bài tập dưới đây sẽ giúp các em học sinh hiểu sâu hơn về cách áp dụng các công thức vào thực tiễn:

Bài toán xác suất cơ bản

• Bài toán tính số cách chọn

Câu hỏi: Một tổ học sinh có 10 người gồm 4 nữ và 6 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra nhóm 5 người mà trong nhóm không có nhiều hơn 1 nữ.

Lời giải: Trường hợp 1 ta chọn 4 học sinh nam và 1 học sinh nữ có C64C41 = 60 cách chọn. Trường hợp 2 ta tiếp tục chọn 5 học sinh nam có C65 = 6 cách chọn. Như vậy, tất cả có 60 + 6 = 66 cách chọn 5 người trong đó có không quá 1 nữ.

• Bài toán xếp chỗ

Câu hỏi: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D và E vào một chiếc ghế dài sao cho:

1. Bạn C ngồi chính giữa.
2. Hai bạn A và E đều ngồi ở hai đầu ghế.

Lời giải:

1. Xếp C ngồi chính giữa có 1 cách xếp, xếp 4 học sinh A, B, D, E vào 4 vị trí còn lại có 4! cách xếp. Vậy ta có 4! = 24 cách xếp.
2. Xếp A cùng E ngồi ở hai đầu ghế có 2 cách xếp là A ngồi đầu này, E ngồi đầu kia và ngược lại. Xếp 3 học sinh B, C và D vào 3 vị trí còn lại có 3! cách xếp. Vậy ta có 2.3! = 12 cách xếp.

• Bài toán chia kẹo

Câu hỏi: Cô Thảo ra chợ mua hoa quả, ở tiệm cô Ánh bán: Cam, quýt, dứa, thanh long và xoài. Cô Thảo dự định mua 30 quả, hỏi có bao nhiêu cách để mua sao cho mỗi loại đều có ít nhất 1 quả? Theo đó, số hoa quả cô Ánh bán mỗi loại đều đủ cho cô Thảo mua.

Lời giải: Ta thấy 30 quả chia vào 5 loại mà mỗi loại quả ít nhất 1 quả, nên có số cách mua là C30−15-1 = C294 = 23751 cách mua.

Các dạng bài toán xác suất nâng cao

• Bài toán xác suất đếm các hoán vị

Câu hỏi: Bạn hãy tính số cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Lời giải: Mỗi cách xếp 10 bạn học sinh thành hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử, như vậy ta có số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là P10=10!

• Bài toán tổ hợp với điều kiện

Câu hỏi: Ông Phong có 11 người bạn. Ông Phong muốn mời 5 người trong họ đi chơi. Trong 11 người lại có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông Phong có bao nhiêu cách mời?

Lời giải: Trường hợp 1, ông Phong chỉ mời 1 trong 2 người bạn đó và mời thêm 4 trong số 9 người bạn còn lại, ta có: 2.C94=252 cách mời. Trường hợp 2, ông Phong không mời 2 người bạn đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người bạn kia, ta có C95=126 cách mời. Như vậy, ông Phong có tất cả 252 + 126=378 cách mời.

• Toán tổ hợp xác suất của một biến cố

Câu hỏi: Hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau được một người chọn ngẫu nhiên. Hãy tính xác suất tạo được thành một đôi từ hai chiếc giày được chọn.

Lời giải: Gọi T là phép thử cần được thử nghiệm, số cách để từ 8 chiếc giày lấy ra 2 chiếc là n(Ω)= C82=28 cách (được phân chia trái phải nên không giống nhau). Số cách từ 4 đôi lấy được 1 đôi là n(A) = 4 cách. Suy ra P(A) = 4/28 = 1/7.

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá những dạng bài tập tổ hợp xác suất trong chương trình phổ thông. Việc làm quen với nhiều dạng bài tập toán xác suất khác nhau sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán khó.

Có thể thấy, việc rèn luyện tư duy toán học ngay từ sớm sẽ giúp các em học sinh phát triển khả năng tư duy logic một cách hiệu quả. Chính vì thế, Trường Quốc Tế Việt Anh tự hào là một trong những môi trường đào tạo chuyên Toán nâng cao hàng đầu, giúp học sinh được tiếp cận với chương trình giảng dạy tiên tiến và chất lượng. Đừng ngần ngại liên hệ với Trường Quốc tế Việt Anh để được tư vấn miễn phí ngay hôm nay.

• Địa chỉ: 269A Nguyễn Trọng Tuyển, P.10, quận Phú Nhuận, TPHCM.
• Số điện thoại: 091 696 1409
• Website: https://truongvietanh.com/