Làm sao để mình tìm được đường tròn giao nhau của hai hình cầu, khi biết tọa độ và bán kính của chúng?

Chào mọi người,

Mình đang làm một bài toán mà tình cờ mình thấy có câu hỏi gần như y hệt trên Stack Exchange, mình nghĩ là chia sẻ cái này sẽ tốt hơn là tự mình diễn đạt mà lại làm không tốt: https://stackoverflow.com/questions/59599652/find-common-endpoint-of-two-3d-line-segments

Hôm qua mình đã hỏi câu hỏi này rồi, nhưng mình quyết định dùng cách khác và chia nó thành hai giai đoạn: tìm mặt phẳng giao tuyến rồi dùng phép chiếu lên mặt phẳng đó để tìm đáp án.

Lúc này mình đã có hai tâm và bán kính của hai mặt cầu, cùng với một điểm tham chiếu (trong link mình chia sẻ nó được gọi là hướng gợi ý). Trước khi mình tìm điểm gần nhất với điểm tham chiếu này, mình muốn biết chính xác làm sao để tìm tâm của giao tuyến của hai mặt cầu, mình biết giao tuyến này tạo ra một đường tròn. Đến giờ mình đã thử hai cách:

Mình đã thử kết hợp câu trả lời với hình vẽ trong bài đăng trên Stack Overflow và trang Wikipedia này mục Giao tuyến của hai mặt cầu. Mình hiểu công thức tổng quát để tìm x hoạt động như thế nào nhưng chỗ mình bị mắc là làm sao cho nó hoạt động với bất kỳ mặt cầu nào, vì công thức tổng quát này chỉ hoạt động với một mặt cầu ở (0,0,0) và một mặt cầu ở (a, 0, 0), nhưng còn mặt cầu ở (2, 4, 1) và (1, 2, 3) với bán kính lần lượt là 2 và 3 thì sao? Mình cố tìm ví dụ trên mạng, nhưng tất cả ví dụ đều dùng (0, 0, 0) và (a, 0, 0) để đơn giản hóa.

Một cách khác mình thử là cho hai phương trình mặt cầu bằng nhau rồi trừ đi. Mình thấy cách này cũng cho ra đường tròn giao tuyến. Phương trình cuối cùng mình dùng sau khi đã khai triển hết và giản ước các số hạng chung là: -2hx + h2 -2ky + k2 -2lz + l2 - R2 = [phương trình tương tự nhưng cho mặt cầu kia], trong đó (h, k, l) là tọa độ của chúng trong không gian. Cách này không phải lúc nào cũng cho kết quả chính xác, và đôi khi cho ra kết quả thậm chí không nằm trong cả hai mặt cầu.

Mình nghĩ mình đã giải quyết được nửa sau của bài toán này rồi, nhưng mình đang thực sự gặp khó khăn trong việc tìm đường tròn này.