Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh

a) Đúng. Giả sử tiệm cận xiện của đồ thị có phương trình (y = mx + n). Tiệm cận xiên đó đi qua các điểm có tọa độ (-1; 0) và (0; 1) nên ta có (left{ begin{array}{l}0 = - 1m + n1 = 0m + nend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = 1n = 1end{array} right. Rightarrow y = x + 1).

b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận xiên y = x + 1 và tiệm cận đứng x = 1. Do đó, tâm đối xứng là điểm I(1; 2).

Vì tâm đối xứng của đồ thị cách đều hai cực trị nên điểm cực tiểu có tọa độ: (left{ begin{array}{l}2.1 - 0 = 22.2 - 0 = 4end{array} right.).

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (Tleft( {2;4} right)).

c) Sai. Quan sát trên (left( {1; + infty } right)), đồ thị có đi xuống từ trái sang phải nên hàm số không đồng biến trên (left( {1; + infty } right)).

d) Đúng. Ta có hàm số của đồ thị trên là (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - 1}}).

Đồ thị đi qua O(0; 0) nên ta có (0 = frac{{a{{.0}^2} + b.0 + c}}{{0 - 1}} Rightarrow c = 0).

Có (y = frac{{a{x^2} + bx}}{{x - 1}} = ax + a + b + frac{{a + b}}{{x - 1}}), mà tiệm cận xiên của đồ thị là y = x + 1 nên (left{ begin{array}{l}a = 1a + b = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1b = 0end{array} right.).

Vậy hàm số có đồ thị trên là (y = frac{{{x^2}}}{{x - 1}}), đạo hàm (y' = frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}).

Gọi I là trung điểm của AB. Vì các tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên (y{'_{{x_A}}} = y{'_{{x_B}}})

( Leftrightarrow frac{{{x_A}^2 - 2{x_A}}}{{{{({x_A} - 1)}^2}}} = frac{{{x_B}^2 - 2{x_B}}}{{{{({x_B} - 1)}^2}}} Leftrightarrow frac{{{x_A}^2 - 2{x_A} + 1 - 1}}{{{{({x_A} - 1)}^2}}} = frac{{{x_B}^2 - 2{x_B} + 1 - 1}}{{{{({x_B} - 1)}^2}}})

( Leftrightarrow 1 - frac{1}{{{{({x_A} - 1)}^2}}} = 1 - frac{1}{{{{({x_B} - 1)}^2}}} Leftrightarrow {({x_A} - 1)^2} = {({x_B} - 1)^2} Leftrightarrow {x_A} - 1 = pm ({x_B} - 1)).

Loại ({x_A} - 1 = {x_B} - 1) vì khi đó A trùng B. Suy ra ({x_A} - 1 = 1 - {x_B} Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 2 Leftrightarrow {x_I} = 1).

Xét ({y_A} + {y_B} = frac{{{x_A}^2}}{{{x_A} - 1}} + frac{{{{(2 - {x_A})}^2}}}{{(2 - {x_A}) - 1}} = frac{{{x_A}^2 - {{(2 - {x_A})}^2}}}{{{x_A} - 1}} = frac{{4{x_A} - 4}}{{{x_A} - 1}} = 4 Leftrightarrow {y_I} = 2).

Vậy trung điểm I(1; 2) của đoạn thẳng AB là một điểm cố định.

Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Khi đó (dleft( {M,AB} right) = MH le MI). Dấu “=” xảy ra khi (MI bot AB).

Đường thẳng AB qua I(1; 2), nhận (overrightarrow {IM} = (3; - 1)) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:

(3(x - 1) - 1(y - 2) = 0 Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0 Leftrightarrow y = 3x - 1).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (y = frac{{{x^2}}}{{x - 1}}) và đường thẳng AB là:

(frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = 3x - 1 Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 = 0 Leftrightarrow frac{{2 pm sqrt 2 }}{2}).

Suy ra (Aleft( {frac{{2 + sqrt 2 }}{2};frac{{4 + 3sqrt 2 }}{2}} right)) và (Bleft( {frac{{2 - sqrt 2 }}{2};frac{{4 - 3sqrt 2 }}{2}} right)).

(AB = sqrt {{{left( {frac{{2 - sqrt 2 }}{2} - frac{{2 + sqrt 2 }}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{4 - 3sqrt 2 }}{2} - frac{{4 + 3sqrt 2 }}{2}} right)}^2}} = 2sqrt 5 ).