Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm ({x_0}) và hàm số (y = f(x)) xác định trên K hoặc trên (Kbackslash left{ {{x_0}} right}). Ta nói hàm số (y = f(x)) có giới hạn hữu hạn là số L khi (x) dần tới ({x_0}) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, ({x_n} in Kbackslash left{ {{x_0}} right}) và ({x_n} to {x_0}), ta có (f({x_n}) to L).

Kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) hay (f(x) to L), khi ({x_n} to {x_0}).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} g(x) = M) thì:

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {f(x) pm g(x)} right] = L pm M)

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {f(x).g(x)} right] = L.M)

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {frac{{f(x)}}{{g(x)}}} right] = frac{L}{M}left( {M ne 0} right))

b) Nếu (f(x) ge 0) với mọi (x in left( {a;b} right)backslash left{ {{x_0}} right}) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) thì (L ge 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} sqrt {f(x)} = sqrt L ).

* Nhận xét:

a) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} {x^k} = {x_0}^k,k in {mathbb{Z}^ + }).

b) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {c.f(x)} right] = c.mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x)) ((c in mathbb{R}), nếu tồn tại (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) in mathbb{R}))

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {{x_0};b} right)).

Ta nói (y = f(x)) có giới hạn bên phải là số L khi (x to {x_0}) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, ({x_0} < {x_n} < b) và ({x_n} to {x_0}) thì (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {a;{x_0}} right)).

Ta nói (y = f(x))có giới hạn bên phải là số L khi (x to {x_0}) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, (a < {x_n} < {x_0}) và ({x_n} to {x_0}) thì (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) = L).

* Chú ý:

• (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = L)
• (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) ne mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x)) thì không tồn tại (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x)).
• Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay (x to {x_0}) bằng (x to {x_0}^ + ) hoặc (x to {x_0}^ - ).

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {a; + infty } right)). Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn là số L khi (x to + infty ) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì ({x_n} > a) và ({x_n} to + infty ) ta có (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = L) hay (f(x) to L) khi (x to + infty ).

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( { - infty ;a} right)). Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn là số L khi (x to - infty ) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì ({x_n} < a) và ({x_n} to - infty ) ta có (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to - infty } f(x) = L) hay (f(x) to L) khi (x to - infty ).

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

(mathop {lim }limits_{x to pm infty } c = c,)(mathop {lim }limits_{x to pm infty } (frac{c}{{{x^k}}}) = 0)

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {{x_0};b} right)).

Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn bên phải là ( + infty ) khi (x to {x_0}) về bên phải nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì thỏa mãn ({x_0} < {x_n} < b) và ({x_n} to {x_0}) ta có (f({x_n}) to + infty ), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = + infty ).

Ta nói hàm số (f(x)) ó giới hạn bên phải là ( - infty ) khi (x to {x_0}) về bên trái nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì thỏa mãn (a < {x_n} < {x_0}) và ({x_n} to {x_0}) ta có (f({x_n}) to + infty ), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) = + infty ).

Các giới hạn một bên (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = - infty ), (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) = - infty ) được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

+ (mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^k} = + infty ,k in {mathbb{Z}^ + }).

+ (mathop {lim }limits_{x to - infty } {x^k} = + infty ,) k là số nguyên dương chẵn.

+ (mathop {lim }limits_{x to - infty } {x^k} = - infty ,) k là số nguyên dương lẻ.

+ (mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} frac{1}{{x - a}} = + infty ,mathop {lim }limits_{x to {a^ - }} frac{1}{{x - a}} = - infty left( {a in mathbb{R}} right))

Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = L ne 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } g(x) = + infty ) hoặc (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } g(x) = - infty ) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } left[ {f(x).g(x)} right]) được tính như sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ({x_0}^ + ) thành ({x_0}^ - ) (hoặc ( + infty ), ( - infty )).