Giải bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) (y = 2{x^3} - 6x + 3) trên đoạn (left[ { - 1;2} right]);

b) (y = {x^4} - 3{x^2} + 2) trên đoạn (left[ {0;3} right]);

c) (y = x - sin 2x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]);

d) (y = left( {{x^2} - x} right){e^x}) trên đoạn (left[ {0;1} right]).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: (y' = 6{x^2} - 6);

(y' = 0 Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 Leftrightarrow x = pm 1) (thỏa mãn).

(yleft( { - 1} right) = 7), ( yleft( 1 right) = - 1), (yleft( 2 right) = 7).

Do đó, (mathop {max }limits_{left[ { - 1;2} right]} y = yleft( 2 right) = yleft( { - 1} right) = 7), (mathop {min }limits_{left[ { - 1;2} right]} y = yleft( 1 right) = - 1).

b) Ta có: (y' = 4{x^3} - 6x);

(y' = 0 Leftrightarrow 4{x^3} - 6x = 0)

(Leftrightarrow x = 0;x = frac{{sqrt 6 }}{2}) (do (x in left[ {0;3} right])).

(yleft( 0 right) = 2); (yleft( {frac{{sqrt 6 }}{2}} right) = frac{{ - 1}}{4}); (yleft( 3 right) = 56).

Do đó, (mathop {max }limits_{left[ {0;3} right]} y = yleft( 3 right) = 56), (mathop {min }limits_{left[ {0;3} right]} y = yleft( {frac{{sqrt 6 }}{2}} right) = frac{{ - 1}}{4}).

c) Ta có: (y' = 1 - 2cos 2x);

(y' = 0 Leftrightarrow 1 - 2cos 2x = 0 Leftrightarrow cos 2x = frac{1}{2} )

(Leftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi left( {k in mathbb{Z}} right)).

Mà (x in left[ {0;pi } right] Rightarrow x = frac{pi }{6};x = frac{{5pi }}{6}).

(yleft( 0 right) = 0); (yleft( {frac{pi }{6}} right) = frac{pi }{6} - frac{{sqrt 3 }}{2}); (yleft( {frac{{5pi }}{6}} right) = frac{{5pi }}{6} + frac{{sqrt 3 }}{2}); (yleft( pi right) = pi ).

Do đó, (mathop {max }limits_{left[ {0;pi } right]} y = yleft( {frac{{5pi }}{6}} right) = frac{{5pi }}{6} + frac{{sqrt 3 }}{2}), (mathop {min }limits_{left[ {0;pi } right]} y = yleft( {frac{pi }{6}} right) = frac{pi }{6} - frac{{sqrt 3 }}{2}).

d) (y' = left( {2x - 1} right){e^x} + left( {{x^2} - x} right){e^x})

(= {e^x}left( {{x^2} + x - 1} right)).

(y' = 0 Leftrightarrow {e^x}left( {{x^2} + x - 1} right) = 0 )

(Leftrightarrow x = frac{{ - 1 + sqrt 5 }}{2}) (do (x in left[ {0;1} right])).

(yleft( 0 right) = 0); (yleft( {frac{{ - 1 + sqrt 5 }}{2}} right) = left( {2 - sqrt 5 } right){e^{frac{{ - 1 + sqrt 5 }}{2}}}); (yleft( 1 right) = 0).

Do đó, (mathop {max }limits_{left[ {0;1} right]} y = yleft( 0 right) = yleft( 1 right) = 0), (mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y = yleft( {frac{{ - 1 + sqrt 5 }}{2}} right) = left( {2 - sqrt 5 } right){e^{frac{{ - 1 + sqrt 5 }}{2}}}).