Phần đầu câu hỏi của bạn, gợi ý của ActiveLama sẽ hoạt động với bất kỳ hàm đa thức bậc 3 nào mà bạn có thể xác định được bốn điểm trên đồ thị. Mình chỉ muốn bổ sung vào câu trả lời của anh ấy để bao gồm một trường hợp đặc biệt. Giải tích trước đại học phổ thông sẽ tập trung rất nhiều vào các điểm cắt trục x (nghiệm) của các hàm đa thức. Nếu "z" là một nghiệm của hàm đa thức, thì (x - z) là một nhân tử của đa thức đó. Nếu bạn có thể xác định giá trị của cả ba điểm cắt trục x của đồ thị và thêm một điểm nữa, thì việc tìm hàm đa thức sẽ dễ dàng hơn một chút và bạn sẽ không phải sử dụng hệ phương trình.
Ví dụ: Nếu bạn biết các nghiệm của một hàm đa thức bậc ba là x = -2, 3 và 5, thì bạn có thể bắt đầu xây dựng hàm bằng cách nhân các nhân tử tương ứng với nhau:
(x + 2)(x - 3)(x - 5) = x³ - 6x² - x + 30
Đây chưa phải là đáp án, nhưng nó gần đúng rồi. Một hàm số có thể được kéo giãn hoặc nén theo chiều dọc và vẫn có cùng các nghiệm. Để tính đến điều này, hãy viết hàm dưới dạng:
f(x) = a(x³ - 6x² - x + 30)
Giờ hãy sử dụng bất kỳ điểm nào khác trên đồ thị để xác định giá trị của "a". Giả sử điểm (2, -24) nằm trên đồ thị, thay x = 2 và f(x) = -24 để tìm "a":
f(x) = a(x³ - 6x² - x + 30)
-24 = a(2³ - 6(2²) - 2 + 30)
-24 = 12a
a = -2
Bây giờ bạn đã biết a = -2, hãy viết lại hàm đa thức và thay thế cho "a":
f(x) = a(x³ - 6x² - x + 30)
f(x) = (-2)(x³ - 6x² - x + 30)
f(x) = -2x³ + 12x² + 2x - 60
Điều này sẽ hoạt động với bất kỳ hàm đa thức bậc nào, nhưng một lần nữa, nó chỉ hoạt động nếu bạn có thể xác định tất cả các nghiệm cùng với một điểm bổ sung (thường xảy ra trong chương trình phổ thông). Điểm cắt trục y thường là một lựa chọn tốt để sử dụng làm điểm cuối cùng vì x = 0 cho điểm cắt trục y và nó sẽ biến mọi số hạng x thành 0 và làm cho việc tìm giá trị của "a" dễ dàng hơn.
Đối với phần thứ hai của câu hỏi của bạn, nếu bạn bắt đầu với một hàm đa thức và được yêu cầu vẽ đồ thị của nó, có một số quy tắc mà bạn sẽ được dạy trong lớp sẽ giúp bạn.
Bậc của hàm đa thức sẽ cho bạn biết số lượng điểm cắt trục x (nghiệm) có thể có. Một hàm đa thức bậc 5 sẽ có 5, 3 hoặc 1 điểm cắt trục x, một hàm đa thức bậc 8 sẽ có 8, 6, 4, 2 hoặc 0 điểm cắt trục x. Cứ trừ 2 khỏi bậc để tìm tất cả các khả năng. Hãy nhớ đến bội số của các nghiệm ở đây.
f(x) = x² có bậc 2 và có hai nghiệm, đó là x = 0 và x = 0. Vì nghiệm được lặp lại, nên nó có bội số là 2. Đồ thị sẽ cắt trục x tại các nghiệm có bội số lẻ. Đồ thị sẽ tiếp xúc với trục x và không cắt tại các nghiệm có bội số chẵn (đồ thị bật trở lại khỏi trục x).
Sử dụng các thủ tục phân tích nhân tử hoặc định lý nghiệm hữu tỉ (phép chia tổng hợp) để tìm nghiệm của đa thức và vẽ chúng dọc theo trục x. Những phương pháp này thường sẽ hoạt động đối với các bài toán phổ thông.
Dấu của hệ số cao nhất (LC) và bậc (D) sẽ giúp bạn xác định hành vi của phần đuôi đồ thị. Nếu LC dương và D chẵn, cả hai đuôi đều hướng lên. Nếu LC âm và D chẵn, cả hai đuôi đều hướng xuống. Nếu LC dương và D lẻ, đuôi bên trái hướng xuống và đuôi bên phải hướng lên. Nếu LC âm và D lẻ, đuôi bên trái hướng lên và đuôi bên phải hướng xuống.
Trong một hàm đa thức, điểm cắt trục y luôn là hằng số (số hạng không có x). Trong hàm đa thức f(x) = -2x³ + 12x² + 2x - 60, điểm cắt trục y là (0, -60). Nếu không có hằng số, chẳng hạn như f(x) = x⁴, thì điểm cắt trục y sẽ là (0, 0). Mỗi hàm đa thức sẽ chỉ có một điểm cắt trục y.
Trong giải tích trước đại học, bạn sẽ xác định vị trí các điểm cực đại và cực tiểu bằng đồ thị cũng như xác định các khoảng tăng và giảm từ đồ thị, nhưng bạn sẽ không được dạy cách tìm những điều này bằng phương trình cho đến khi học giải tích. Vì vậy, có một số kỹ thuật vẽ đồ thị mà bạn chưa được dạy.
Để vẽ hình dạng chung của đồ thị, bạn vẽ tất cả các điểm cắt trục x (nghiệm) và điểm cắt trục y. Sau đó, bạn sử dụng các quy tắc ở trên để ước tính hình dạng của đồ thị. Nếu giáo viên yêu cầu một đồ thị chính xác hơn, thì hiện tại cách duy nhất của bạn là lập một bảng giá trị và vẽ các cặp số có thứ tự, sau đó nối các điểm lại với nhau.
