ĐỀ + HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ BẮC GIANG

(Đề thi gồm có: 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

Ngày thi: 01/3/2024

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thứcvới

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2. Cho các số thực khác 0 thỏa mãn: . Tính giá trị biểu thức

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Tìm các cặp nguyên thỏa mãn

3. Tìm các số nguyên k để biểu thức là số chính phương

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Cho là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh chia hết cho 48

2. Cho đa thức là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn có các đường caovà cắt nhau tại . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tia tại .

1. Chứng minh đồng dạng

2. Chứng minh và

3. Gọi là trung điểm . Tia cắt tại Chứng minh vuông góc

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho các số thực dương . Chứng minh rằng:

-HẾT-

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh:…......…

Giám thị 1 (Họ tên và ký).........................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và ký)..........................................................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN 8

Ngày thi: 01/3/2024

(Bản hướng dẫn chấm có 07 trang)

Câu 1: (5,0 điểm)

1. Cho biểu thứcvới

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2. Cho các số thực khác 0 thỏa mãn: . Tính giá trị biểu thức

Câu 1

Nội dung

5,0 điểm

1.1.a

(2 điểm)

Với ta có:

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Vậy với

0,25

1.1.b

(1 điểm)

Ta có

với ta thấy

0,25

Do đó với

0,25

Dấu bằng xảy ra khi (thỏa mãn ĐKXĐ)

0,25

Vậy giá trị lớn nhất của là đạt được khi

0,25

1.2

(2 điểm)

Ta có:

0,25

0,25

0,25

Ta thấy

0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

0,25

Khi đó

0,25

(vì )

0,25

Vậy

0,25

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Tìm các cặp nguyên thỏa mãn

3. Tìm các số nguyên k để biểu thức là số chính phương.

Câu 2

Nội dung

5,0 điểm

2.1.

(2 điểm)

Ta có

Áp dụng hằng đẳng thức vào vế trái phương trình với ta được =

0,25

Khi đó phương trình trở thành

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

0,25

2.2.

(1,5 điểm)

Ta có

0,25

Ta xét các trường hợp sau

+) Với , ta có (vô lí)

0,25

+) Với , ta có. Vì là các số nguyên và là hai số nguyên tố cùng nhau nên là ước chính phương của 27.

0,25

Suy ra

0,25

+ thì

+ thì

+ thì

+ thì

0,25

Vậy các cặp nguyên

0,25

2.3.

(1,5 điểm)

Đặt

Ta có

0,25

M là số chính phương khi và chỉ khi hoặc là số chính phương

0,25

+ .

+ là số chính phương, đặt

0,25

vì nên

0,25

+ Nếu và thì

+ Nếu và thì

0,25

Vậy với và thì là số chính phương

0,25

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Cho là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh chia hết cho 48

2. Cho đa thức là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức

Câu 3

Nội dung

3,0 điểm

3.1.

(1,5 điểm)

Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:

với

0,25

Khi đó

0,25

0,25

với ta có là tích của ba số nguyên liên tiếp

nên

0,25

Do đó

0,25

Vậy chia hết cho 48

0,25

Xét đa thức

Ta có

nên là ba nghiệm của đa thức

0,25

3.2

(1,5 điểm)

Mặt khác là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 nên đa thức đa thức bậc 4 với hệ số cao nhất là 1 suy ra

0,25

Khi đó

0,25

0,25

Suy ra

0,25

Vậy

0,25

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn có các đường cao và cắt nhau tại . Qua kẻ đường thẳng song song cắt tia tại .

1. Chứng minh đồng dạng

2. Chứng minh và

3. Gọi là trung điểm . Tia cắt tại Chứng minh vuông góc

Câu 4

Nội dung

6,0 điểm

4.1.

(2 điểm)

Ta có nên

0,25

Ta có nên

0,25

Xét và có ; chung

Suy ra (G-G)

0,5

0,25

Xét và có:

chung

(Chứng minh trên)

0,5

Suy ra (C-G-C)

0,25

4.2.

(2 điểm)

Ta có

mà Suy ra

0,25

0,25

Xét và có

chung

Suy ra (g-g)

0,25

(đpcm)

0,25

Ta có

( và có chung cạnh đáy BC)

0,25

( và có chung cạnh đáy AC)

0,25

( và có chung cạnh đáy AB)

0,25

(đpcm)

0,25

4.3.

(2 điểm)

Ta có (GT) suy ra (hai góc so le trong)

Xét và có

(đối đỉnh)

(GT)

(chứng minh trên)

0,25

Do đó

0,25

(hai cạnh tương ứng)

I là trung điểm

0,25

Gọi J là trung điểm AH

Xét có

I là trung điểm (Chứng minh trên)

J là trung điểm (cách vẽ)

IJ là đường trung bình của

0,25

Suy ra (1)

0,25

Chỉ ra

Chỉ ra

0,25

là trung trực của . Suy ra (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra vuông góc (đpcm)

0,25

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Câu 5

Nội dung

1,0 điểm

1,0 điểm

Với x, y dương ta có: (*)

Dấu “=” xảy ra khi .

0,25

Sử dụng (*) ta được:

Tương tự:

0,25

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được:

0,25

0,25

Tổng

20 điểm

...........................................HẾT...........................................

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.

- Câu 4 học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm chứng minh.