[Giải tích II] Có phải *luôn luôn* cần đổi cận khi tích phân bằng cách thế lượng giác không?

Giải quyết rồi, tôi đoán vậy.

Đây là phần cuối của ví dụ 6 trong mục 7.3 của sách Giải tích của Stewart. Tôi cố gắng làm những ví dụ này mà không xem đáp án trước. Hy vọng là nó sẽ dễ đọc...

Tích phân ban đầu khá rối. Nó là

[tích phân từ 0 đến 3sqrt3/2] x^3 / (4x^2 + 9)

Giới hạn tích phân đã được thay đổi trong quá trình đổi biến lượng giác. Tôi đã làm đúng cho đến điểm này:

3/16 * [tích phân từ 0 đến pi/3] tan(t)^3/sec(t) dt = 3/16 sin(t)^3 / cos(t)^2 dt = 3/16 sin(t)(1 - cos(t)^2) / cos(t) ^2 dt u = cos(t); -du = sin(t) dt Đã chỉnh sửa để thêm (t) vào mọi chỗ bị thiếu.

Lưu ý: Mọi thứ sau điểm này đều sai vì tôi không thay đổi giới hạn tích phân lần thứ hai. Sửa cho rõ ràng: Tôi quay lại với theta và giới hạn của theta, tôi không cố gắng giải cho u với giới hạn của theta.

-3/16 [tích phân từ 0 đến pi/3] 1/u^2 - u^2/u^2 du = -3/16 * (-t - 1/cos(t)) | tính giá trị tại 0 và pi/3

Nếu tôi tính toán điều này, tôi sẽ nhận được một đáp án vô nghĩa:

-3/16 [ (-1/cos(pi/3) - pi/3) - (-1 - 0) ] = -3/16 [-2 - pi/3 + 1] = -3/16 [-1 - pi/3] = (-pi - 1) /16

Ví dụ, tôi có thể ước lượng hàm số chỉ bằng cách vẽ đồ thị tan2 sinx trên Wolfram Alpha và thấy rằng diện tích của tôi sẽ vào khoảng 0.1. Kết quả này là 0.2588, khá xa.

Phương pháp chính xác là thay đổi giới hạn tích phân một lần nữa tại thời điểm đổi biến u và sau đó giải cho u:

cos(pi/3) = 1/2; cos(0) = 1. (Tích phân sẽ "ngược chiều", vì vậy tất cả các dấu sẽ bị đảo ngược) = -3/16 [tích phân từ 1 đến 1/2] 1/u^2 - 1 = 3/16 1/u - u tính giá trị tại 1/2 và 1 = 3/16 [(1/2 + 2) - (1 + 1)] = 3/16 * 1/2 = 3/32

Vì vậy, rõ ràng 3/32 là đáp án đúng.

Câu hỏi của tôi là: Tại sao? Tôi chưa gặp ví dụ nào khác mà phép đổi biến u mà không thay đổi giới hạn lại cho ra đáp án hoàn toàn khác, và việc quay trở lại giới hạn ban đầu của hàm số - sau một vòng đổi biến và thay đổi giới hạn - trái ngược với sự hiểu biết của tôi về quy tắc đổi biến. Nhưng đây thực sự là chương đầu tiên có nhiều vòng đổi biến.

Vì vậy, giả sử tôi muốn có một quy tắc chung về khi nào nên thay đổi giới hạn hoặc cần quay trở lại bao xa, nếu vì lý do nào đó tôi không muốn tiếp tục thay đổi chúng trong suốt bài toán.

Tôi có chỉ cần quay trở lại bước mà tôi thực hiện phép đổi biến gần đây nhất không? Điều đó có luôn sai không?

Hay tôi luôn phải quay trở lại giới hạn ban đầu? Và nếu tôi có thể làm điều đó, thì ích lợi của việc thay đổi giới hạn khi tôi làm là gì? - Điều đó có vẻ chỉ là một cơ hội khác để mắc lỗi.