Số thực là gì?

Số thực là gì? Số thực là số gì? Bài viết sẽ cung cấp cho bạn mọi điều cần biết về số thực.

Số thực là những đại lượng liên tục có thể biểu diễn một khoảng cách trên một đường thẳng, vì số thực bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ. Số hữu tỉ chiếm các điểm ở một khoảng cách hữu hạn và số vô tỉ lấp đầy khoảng trống giữa chúng, tạo thành một đường thẳng thực. Nói cách khác, số thực là những số có thể được biểu diễn trên đường thẳng thực.

Số thực bao gồm các số hữu tỉ, bao gồm số nguyên dương, số nguyên âm, phân số và số vô tỉ. Về cơ bản, bất kỳ số nào chúng ta có thể nghĩ đến đều là số thực.

Ví dụ về số hữu tỉ là 2, 3,5, 6/7, √5, 0,35, -67,ππ, e, v.v.

Ở bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về các số thực, bao gồm tính chất của chúng, biểu diễn trên trục số và khai triển thập phân, đồng thời kiểm tra xem 0 có phải là số thực hay không.

1. Số thực là gì?

• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Ví dụ
• Tập số hữu tỉ ký hiệu là
• Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ:
• Tập số vô tỉ được ký hiệu là

Ví dụ:

2. Trục số thực

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

• Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.
• Chỉ có tập hợp số thực mới lấp đầy trục số.

3. So sánh các số thực

Ví dụ: Điền một chữ số thích hợp vào chỗ vuông:

a) -7,5(...)8 > -7,513b) -3,02 < -3,(...)1c) -0,4(...)854 < -0,49826d) -1,(...)0765 < -1,892

Hướng dẫn giải

a) -7,5(0)8 > -7,513

b) -3,02 < -3,(0)1

c) -0,4(9)854 < -0,49826

d) -1,(9)0765 < -1,892

Ví dụ: Sắp xếp các số thực: theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các số thực theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Với a, b là hai số thực dương nếu a > b thì b^{2}" width="51" height="15" data-type="2" data-latex="a^{2} > b^{2}" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%3E%0Ab%5E%7B2%7D">

Hướng dẫn giải

Nếu a > b thì b^{2}" width="51" height="15" data-type="2" data-latex="a^{2} > b^{2}" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%3E%0Ab%5E%7B2%7D">

a, b là hai số thực dương nên a + b > 0

Nếu a > b thì a - b > 0

Xét tích

Vì 0, a - b > 0" width="132" height="17" data-type="0" data-latex="a + b > 0, a - b > 0" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%20%2B%20b%20%3E%200%2C%20a%20%E2%80%93%20b%20%3E%200"> nên 0" width="120" height="20" data-type="0" data-latex="(a + b)(a - b) > 0" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=(a%20%2B%20b)(a%20%E2%80%93%20b)%20%3E%200"> hay a2 - b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3. Tính chất của tập số thực

Trong tập hợp , ta cũng định nghĩa các phép toán cộng trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn bậc…Và trong các phép toán các số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.

- Tức là với các phép tính trên cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp như trên các tập số khác. Và điều đó tương tự với các phép trừ, nhân, chia…

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

Hướng dẫn giải

Ví dụ: Tìm x, biết:

Hướng dẫn giải

4. Giá trị tuyệt đối của một số thực

Tổng quát:

• Nếu
• Nếu
• Nếu
• Nếu

Cụ thể:

Một vài tính chất

- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

Tổng quát:

- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.

Tổng quát: và

- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Tổng quát: Nếu |b|" width="147" height="16" data-type="2" data-latex="a < b < 0 Rightarrow |a| > |b|" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=a%20%3C%20b%20%3C%200%0A%5CRightarrow%20%7Ca%7C%20%3E%20%7Cb%7C">

- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

Tổng quát: Nếu

- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.

Tổng quát:

- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.

Tổng quát:

5. Bài tập ví dụ về số thực

Ví dụ 1: Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống (…):

3 …. Q ; 3 …. R ; 3… I ; -2,53… Q;

0,2(35) …. I ; N …. Z ; I …. R.

Hướng dẫn

a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ I ; -2,53 ∈ Q

b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; I ⊂ R

Ví dụ 2: Hãy tìm các tập hợp

a) Q ∩ I ;b) R ∩ I.

Hướng dẫn

a) Q ∩ I = Ø ;b) R ∩ I = I.

Ví dụ 3: Điền chữ số thích hợp vào (…)

a) - 3,02 < - 3, … 1

b) - 7,5 … 8 > - 7,513

c) - 0,4 … 854 < - 0,49826

d) -1, … 0765 < - 1,892

Hướng dẫn

a) - 3,02 < - 301b) - 7,508 > - 7,513 ;c) - 0,49854 < - 0,49826 ;d) -1,90765 < - 1,892.

Ví dụ 4: Tìm x, biết:

3,2.x + (-1,2).x +2,7 = -4,9;

Hướng dẫn

3,2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2,7 = - 4,9.

2.x = - 4,9 - 2,7

2.x = - 7,6

x = -7,6 : 2

x = -3,8

Ngoài số thực, các bạn có thể tìm hiểu thêm về các định nghĩa khác trong toán học như số chính phương, số vô tỉ, số hữu tỉ, số nguyên tố, số tự nhiên...