Cách giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu đơn giản và hiệu quả

Bất phương trình là một nội dung quan trọng được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 8 phần Đại số. Ở những nội dung bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn, cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình, ... Bài học ngày hôm nay chúng ta lại tiếp tục được làm quen với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, cách giải và một số ví dụ minh họa. Để hiểu rõ hơn về những nội dung vừa nêu. Chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Giới thiệu về bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu là bất phương trình có một trong các dạng:

+

+

+

+

Trong đó: f(x), g(x) là những biểu thức theo biến x; g(x) 0

2. Cách giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.1. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ở dạng tổng quát

• Để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ở dạng tổng quát, ta dựa vào dấu của bất phương trình để chia trường hợp cho tử và mẫu của phân thức xuất hiện trong bất đẳng thức.

Ví dụ: Giải bất phương trình: > 0 và viết tập nghiệm tương ứng.

Giải

+ Trường hợp 1:

Vậy, S = { x | -2 < x < 2 }

+ Trường hợp 2:

Vậy, S =

2.2. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu khi chưa ở dạng tổng quát

• Để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu khi chưa ở dạng tổng quát, ta thực hiện chuyển vế đổi dấu để đưa vế trái của bất phương trình về bằng 0. Sau đó, tiến hành quy đồng mẫu để đưa về dạng tổng quát.

Ví dụ: Giải bất phương trình: < 1 và viết tập nghiệm tương ứng.

Giải

Ta có: < 1

- 1 < 0

Vì 5 > 0 nên để < 0 thì:

x - 5 < 0

x < 5

Vậy, S = { x | x < 5 }

3. Ứng dụng giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu trong bài toán thực tế

Ví dụ: Hiện nay tổng số tuổi của hai mẹ con là 35 tuổi. Khi lấy số tuổi của mẹ chia số tuổi của con được một số bé hơn 4. Hỏi tuổi của con hiện nay là bao nhiêu? Biết tuổi của con là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu nội dung bài toán.

Giải

Gọi x (tuổi) là số tuổi của con hiện nay (x N*)

Lúc này, số tuổi của mẹ là: 35 - x (tuổi)

Khi lấy số tuổi của mẹ chia số tuổi của con được một số bé hơn 4 nên ta có bất phương trình:

- 4 < 0

Mà x > 0 nên để

35 - 5x < 0

- 5x < - 35

x > 7

Theo yêu cầu bài toán, tuổi của con là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn. Vậy, hiện nay con 8 tuổi.

4. Bài tập giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 8

Bài 1: Cho bất phương trình: . Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên
2. Bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên
3. Bất phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên
4. Bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên

+ Trường hợp 1:

Vậy, S = { x | -2 < x 3 }

Vậy, các số nguyên x thỏa mãn là: -1; 0; 1; 2; 3. (có 5 số nguyên)

+ Trường hợp 2:

Vậy, S =

Vậy, không có số nguyên x thỏa mãn

Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2, có tất cả 5 số nguyên x thỏa mãn

Chọn câu C

Bài 2: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

1. S = { x | x < -1 }
2. S = { x | x < 1 }
3. S = { x | x > 1 }
4. S = { x | x > -1}

Ta có:

Mà 1 > 0 nên để < 0 thì:

x - 1 < 0

x < 1

Chọn câu B

Bài 3: Khi lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai ta thu được một số nhỏ hơn hoặc bằng 4. Biết tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 55. Biết số thứ nhất và số thứ hai là các số tự nhiên khác 0. Khi đó, số thứ hai nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:

1. 9
2. 10
3. 11
4. 12

Gọi y là số thứ hai

Vì tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 55. Nên ta có số thứ nhất là: 55 - y

Khi lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai ta thu được một số nhỏ hơn hoặc bằng 4 nên ta có bất phương trình:

Mà y > 0 nên khi:

55 - 5y 0

- 5y - 55

y 11

Vậy, số thứ hai nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 11

Chọn câu C

Bài 4: Biết x là một số tự nhiên. Hỏi có mấy giá trị của x thỏa mãn bất phương trình: < 0

1. Không có giá trị nào của x
2. Có 4 giá trị của x
3. Có 3 giá trị của x
4. Có 2 giá trị của x

Vì 5 > 0 nên để < 0 thì:

x - 3 < 0

x < 3

Mà x là số tự nhiên nên các giá trị của x là: 0; 1; 2 (có 3 giá trị)

Chọn câu C

Bài 5: Cho bất phương trình: . Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:

1. Bất phương trình đã cho là một bất phương trình tương đương với bất phương trình
2. Không có số nguyên x nào thỏa mãn bất phương trình đã cho
3. Không có giá trị nào của x trong đó x là số dương thỏa mãn bất phương trình nêu trên
4. B và C đều sai

Ta có:

+ Trường hợp 1:

Vậy, 1 < x < 2

+ Trường hợp 2:

Vậy, không có giá trị nào của x thỏa mãn

Đối với trường hợp 1, ta có: 1 < x < 2. Do đó, x không phải là số nguyên nhưng x là số dương.

Chọn câu C

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm vững kiến thức về cách giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, đồng thời vận dụng để giải các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu khác.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang