Lý thuyết về giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

1. Giới hạn hữu hạn

+) (underset{nrightarrow +infty }{lim }u_{n} = 0) khi và chỉ khi (|u_n|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) (underset{nrightarrow +infty }{lim }u_{n} = a Leftrightarrow underset{nrightarrow +infty }{lim }(u_{n}-a) = 0).

2. Giới hạn vô cực

+) (underset{nrightarrow +infty }{lim }u_{n}= +∞) khi và chỉ khi (u_n) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) (underset{nrightarrow +infty }{lim }u_{n} = -∞ Leftrightarrow underset{nrightarrow +infty }{lim}(-u_{n})= +∞).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) (lim frac{1}{n} = 0);

(lim frac{1}{n^{k}} = 0);

(lim n^k= +∞), với (k) nguyên dương.

b) (lim q^n= 0) nếu (|q| < 1);

(lim q^n= +∞) nếu (q > 1).

c) (lim c = c) ((c) là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu (lim u_n=a) và (lim v_n= b), thì:

(limleft( {{u_{n}}+{v_n}} right)= a +b)

(lim({u_n} - {v_n}){rm{ }} = {rm{ }}a - b)

(lim({u_n}.{v_n}) = ab)

(lim{{{u_n}} over {{v_n}}} = {a over b}) (nếu (b ≠ 0)).

b) Nếu (u_n≥ 0) với mọi (n) và (lim u_n= a) thì (a > 0) và (lim sqrt{u_n}= sqrt a).

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu (lim u_n=a) và (lim v_n= ± infty) thì (lim frac{u_{n}}{v_{n}}= 0).

b) Nếu (lim u_n=a > 0), (lim v_n= 0) và (v_n> 0) với mọi (n) thì (lim frac{u_{n}}{v_{n}} = +infty).

c) Nếu (lim u_n= +infty) và (lim v_n= a > 0) thì (lim (u_n.v_n) = +infty).

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội (q) thỏa mãn (|q| <1).

+) Công thức tính tổng (S) của cấp số lùi vô hạn ((u_n)):

(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} over {1 - q}}).

B. BÀI TẬP

Bài 1. Cho dãy số $(u_{n})$ có tính chất $|u_{n}-2|leqfrac{1}{3^{n}}$. Tính $lim_{nto+infty}u_{n}$.

Giải:

Do $lim_{nto+infty}frac{1}{3^{n}}=0$ nên $lim_{nto+infty}(u_{n}-2)=0$.

Vậy $lim_{nto+infty}u_{n}=2$.

Bài 2. Tính $lim_{nto+infty}frac{2n^{2}+1}{3n^{2}+n}$.

Giải:

$lim_{nto+infty}frac{2n^{2}+1}{3n^{2}+n}=lim_{nto+infty}frac{2+frac{1}{n^{2}}}{3+frac{1}{n}}=frac{2}{3}$.

Bài 3. Tính $lim_{nto+infty}(sqrt{n^{2}-n}-sqrt{n^{2}+1})$.

Giải:

$lim_{nto+infty}(sqrt{n^{2}-n}-sqrt{n^{2}+1})$

$=lim_{nto+infty}frac{-n-1}{sqrt{n^{2}-n}+sqrt{n^{2}+1}}$

$=lim_{nto+infty}frac{-1-frac{1}{n}}{sqrt{1-frac{1}{n}}+sqrt{1+frac{1}{n^{2}}}}=-frac{1}{2}$.

Bài 4. Tính $lim_{nto+infty}(n^{2}-n+3)$.

Giải:

$lim_{nto+infty}(n^{2}-n+3)$

$=lim_{nto+infty}n^{2}left(1-frac{1}{n}+frac{3}{n^{2}}right)=+infty$.

Bài 5. Tính tổng $S=frac{1}{3}+frac{1}{9}-frac{1}{27}+cdots+(-1)^{n}frac{1}{3^{n}}+cdots$

Giải:

Ta thấy $S$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với $u_{1}=-frac{1}{3},q=-frac{1}{3}.$

Do đó $S=frac{u_{1}}{1-q}=frac{-frac{1}{3}}{1+frac{1}{3}}=-frac{1}{4}$.

Loigiaihay.com