Giải SGK Toán 11 trang 46, 47 Kết Nối Tri Thức tập 1

Bài 2.1 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (left( {{u_n}} right)) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) ({u_n} = 3n - 2)

b) ({u_n} = {3.2^n})

c) ({u_n} = {left( {1 + frac{1}{n}} right)^n})

Phương pháp:

Dựa vào công thức dãy số tổng quát đã cho, thay n để tính.

Lời giải:

a) Ta có: u1 = 3 . 1 - 2 = 1;

u2 = 3 . 2 - 2 = 4;

u3 = 3 . 3 - 2 = 7;

u4 = 3 . 4 - 2 = 10;

u5 = 3 . 5 - 2 = 13;

u100 = 3 . 100 - 2 = 298.

b) Ta có: u1 = 3 . 21 = 6;

u2 = 3 . 22 = 12;

u3 = 3 . 23 = 24;

u4 = 3 . 24 = 48;

u5 = 3 . 25 = 96;

u100 = 3 . 2100.

Bài 2.2 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Dãy số (left( {{u_n}} right))cho bởi hệ thức truy hồi: ({u_1} = 1,;;;{u_n} = n.{u_{n - 1}}) với (n ge 2)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát ({u_n}).

Phương pháp:

Thay n tương ứng với các thứ tự dãy số.

Dựa vào tính chất của giải để dự đoán được công thức số hạng tổng quát.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

u1 = 1;

u2 = 2u1 = 2 . 1 = 2;

u3 = 3u2 = 3 . 2 = 6;

u4 = 4u3 = 4 . 6 = 24;

u5 = 5u4 = 5 . 24 = 120.

b) Nhận xét thấy u1 = 1 = 1!;

u2 = 2 . 1 = 2!;

u3 = 3u2 = 3 . 2 . 1 = 3!;

u4 = 4u3 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

u5 = 5u4 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;

...

Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của un là un = n!.

Bài 2.3 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Xét tính tăng, giảm của dãy số (left( {{u_n}} right)), biết:

a) ({u_n} = 2n - 1);

b) ({u_n} = - 3n + 2);

c) ({u_n} = {left( { - 1} right)^{n - 1}}{n^2})

Phương pháp:

Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là dãy số tăng nếu ta có ({u_{n + 1}} > {u_n},;)với mọi (n in {N^*}).

Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là dãy số giảm nếu ta có ({u_{n + 1}} < {u_n},;)với mọi (n in {N^*}).

Lời giải:

a) Ta có: un + 1 = 2(n + 1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1

Xét hiệu un + 1 - un = (2n + 1) - (2n - 1) = 2 > 0, tức là un + 1 > un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) Ta có: un + 1 = - 3(n + 1) + 2 = - 3n - 3 + 2 = - 3n - 1

Xét hiệu un + 1 - un = (- 3n - 1) - (- 3n + 2) = - 3 < 0, tức là un + 1 < un­, ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số giảm.

Bài 2.4 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) ({u_n} = n - 1);

b) ({u_n} = frac{{n + 1}}{{n + 2}});

c) ({u_n} = sin;n;);

d) ({u_n} = {left( { - 1} right)^{n - 1}}{n^2}).

Phương pháp:

- Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ({u_n} le M,;n in {N^*})

- Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho ({u_n} ge m,;n in {N^*})

- Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho (m le {u_n} le M,;n in {N^*})

Lời giải:

a) Ta có: un = n - 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = n - 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

c) Ta có: - 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, - 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

d) un = (- 1)n - 1 n2

Ta có: (- 1)n - 1 = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

(- 1)n - 1 = - 1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

n2 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, - 1 . n2 ≤ (- 1)n - 1 n2 ≤ 1 . n2 hay - n2 ≤ un ≤ n2 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

Bài 2.5 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 4 dư 1.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất chia hết chia hết để viết công thức số hạng tổng quát.

Lời giải:

a) Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...

Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là un = 3n với n ∈ ℕ*.

b) Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dưa là un = 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Bài 2.6 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức:

({A_n} = 100{left( {1 + frac{{0,06}}{{12}}} right)^n})

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Phương pháp:

Thay n là số tháng ông An nhận tiền vào công thức đã cho để tính.

Lời giải:

Bài 2.7 trang 47 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi ({A_n};left( {n in N} right)) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.

a) Tìm lần lượt ({A_0},;{A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5},{A_6}) để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (left( {{A_n}} right))

Phương pháp:

- Dựa vào đề bài để tìm ra số tiền chị Hương nợ sau 1, 2, 3,..., 6 tháng.

- Từ đó, rút ra công thức truy hồi.

Lời giải:

a) Ta có: A0 = 100 (triệu đồng)

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 1 tháng là 100 . 0,8% = 0,8 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 1 tháng là 2 - 0,8 = 1,2 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là

A1 = 100 - 1,2 = 98,8 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 2 tháng là 98,8 . 0,8% = 0,7904 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 2 tháng là 2 - 0,7904 = 1,2096 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 2 tháng là

A2 = 98,8 - 1,2096 = 97,5904 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 3 tháng là 97,5904 . 0,8% = 0,7807232 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 3 tháng là 2 - 0,7807232 = 1,2192768 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 3 tháng là

A3 = 97,5904 - 1,2192768 = 96,3711232 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 4 tháng là 96,3711232 . 0,8% ≈ 0,77097 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 4 tháng là 2 - 0,77097 = 1,22903 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 4 tháng là

A4 = 96,3711232 - 1,22903 = 95,1420932 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 5 tháng là 95,1420932 . 0,8% ≈ 0,76114 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 5 tháng là 2 - 0,76114 = 1,23886 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 5 tháng là

A5 = 95,1420932 - 1,23886 = 93,9032332 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 6 tháng là 93,9032332 . 0,8% ≈ 0,75123 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 6 tháng là 2 - 0,75123 = 1,24877 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng là

A6 = 93,9032332 - 1,24877 = 92,6544632 (triệu đồng).

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An) là

A0 = 100; An = An - 1 - (2 - An - 1. 0,8%) = 1,008An - 1 - 2.

Sachbaitap.com