Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
• Chuyên đề Hệ phương trình lớp 9
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình
• Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 1

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình không thay đổi.

Hoặc định nghĩa tổng quát như sau:

- Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng: (left{ begin{matrix} f(x;y) = a \ g(x;y) = a \ end{matrix} right.) sao cho khi ta thay x bởi y của 1 trong hai phương trình thì ta nhận được phương trình còn lại.

Phương pháp:

Trừ từng vế của phương trình, đưa về dạng tổng tích, Đặt: (left{ begin{matrix} S = x + y \ P = x.y \ end{matrix} right.) ,

sau đó giải với điều kiện (S^{2} geq 4P) , tìm nghiệm bằng cách thế vào phương trình: (x^{2} - Sx + P = 0)

Một số biến đổi thường gặp:

• (x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy)
• (x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3xy(x + y))
• ((x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy)
• (x^{4} + y^{4} = left( x^{2} + y^{2} right)^{2} - 2x^{2}y^{2})
• (x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2} = left( x^{2} - xy + y^{2} right)left( x^{2} + xy + y^{2} right))

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Bài 1: Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} x + y + xy = 11\ {x^2}y + {y^2}x = 30 end{array} right.).

Lời giải:

Có (left{ begin{array}{l} x + y + xy = 11\ {x^2}y + {y^2}x = 30 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + y + xy = 11\ xyleft( {x + y} right) = 30 end{array} right.)

Đặt (left{ begin{array}{l} S = x + y\ P = xy end{array} right.left( {{S^2} ge 4P} right))

Hệ phương trình trở thành:

(left{ begin{array}{l} S + P = 11\ S.P = 30 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 11 - P\ left( {11 - P} right)P = 30 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 11 - P\ - {P^2} + 11P - 30 = 0 end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 11 - P\ left[ begin{array}{l} P = 5\ P = 6 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} S = 6\ P = 5 end{array} right.left( {tm} right)\ left{ begin{array}{l} S = 5\ P = 6 end{array} right.left( {tm} right) end{array} right.)

Với (left{ begin{array}{l} S = 6\ P = 5 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x + y = 6\ xy = 5 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 6 - y\ left( {6 - y} right)y = 5 end{array} right.)

(left{ begin{array}{l} x = 6 - y\ - {y^2} + 6y - 5 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x = 1\ y = 5 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} x = 5\ y = 1 end{array} right. end{array} right.)

Với (left{ begin{array}{l} S = 5\ P = 6 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x + y = 5\ xy = 6 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 5 - y\ left( {5 - y} right)y = 6 end{array} right.)

(left{ begin{array}{l} x = 5 - y\ - {y^2} + 5y - 6 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x = 2\ y = 3 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} x = 3\ y = 2 end{array} right. end{array} right.)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} right) = left( {1;5} right);left( {x;y} right) = left( {5;1} right);left( {x;y} right) = left( {2;3} right)) và (left( {x;y} right) = left( {3;2} right)).

Bài 2: Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 7\ xyleft( {x - y} right) = 2 end{array} right.).

Lời giải:

Có (left{ begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 7\ xyleft( {x - y} right) = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {x - y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2}} right) = 7\ xyleft( {x - y} right) = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {x - y} right)left[ {{{left( {x - y} right)}^2} + 3xy} right] = 7\ xyleft( {x - y} right) = 2 end{array} right.)

Đặt (left{ begin{array}{l} a = x - y\ b = xy end{array} right.)

Hệ phương trình trở thành:

(left{ begin{array}{l} aleft( {{a^2} + 3b} right) = 7\ ab = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} + 3ab = 7\ ab = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} + 6 = 7\ ab = 2 end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^3} = 1\ ab = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 1\ b = 2 end{array} right.)

Với (left{ begin{array}{l} a = 1\ b = 2 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x - y = 1\ xy = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 1 + y\ left( {1 + y} right)y = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 1 + y\ {y^2} + y - 2 = 0 end{array} right.)

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x = 1 + 1\ y = 1 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} x = 1 - 2\ y = - 2 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x = 2\ y = 1 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} x = - 1\ y = - 2 end{array} right. end{array} right.)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} right) = left( {2;1} right);left( {x;y} right) = left( { - 1; - 2} right)).

Bài 3. Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} 8x^{3}y^{3} + 27 = 18y^{3} \ 4x^{2}y + 6x = y^{2} end{matrix} right.)

Hướng dẫn giải

Từ hệ phương trình đã cho⇔ (left{ begin{matrix} (2x)^{3} + left( frac{3}{y} right)^{3} = 18 \ 2x.frac{3}{y}left( 2x + frac{3}{y} right) = 3 end{matrix} right.).

Đặt a = 2x; b = (frac{3}{y}). (2) ⇔ (left{ begin{matrix} a + b = 3 \ ab = 1 end{matrix} right.)

Vậy hệ đã cho có nghiệm: (left( frac{3 - sqrt{5}}{4};frac{6}{3 + sqrt{5}} right),left( frac{3 + sqrt{5}}{4};frac{6}{3 - sqrt{5}} right))

Bài 4. Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} x^{2} + 1 + y(x + y) = 4y \ (x^{2} + 1)(x + y - 2) = y end{matrix} right.) (x, y (in mathbb{R}))

Hướng dẫn giải

Ta có: y = 0 không phải là nghiệm.

Hệ phương trình ⇔ (left{ begin{matrix}dfrac{x^{2} + 1}{y} + x + y - 2 = 2 \dfrac{x^{2} + 1}{y}(x + y - 2) = 1end{matrix} right.)

Đặt (u = frac{x^{2} + 1}{y},v = x + y - 2).

Ta có hệ (left{ begin{matrix} u + v = 2 \ uv = 1 end{matrix} right. Leftrightarrow u = v = 1) ⇔ (left{ begin{matrix} frac{x^{2} + 1}{y} = 1 \ x + y - 2 = 1 end{matrix} right.)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2), (-2; 5).

Bài 5. Giải phương trình: (sqrt[3]{{x + 34}} - sqrt[3]{{x - 3}} = 1).

Hướng dẫn giải

Đặt (u = sqrt[3]{x + 34}, v = sqrt[3]{x - 3}).

Ta có:

(left{ begin{matrix} u - v = 1 \ u^{3} - v^{3} = 37 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} u - v = 1 \ (u - v)left( u^{2} + v^{2} + uv right) = 37 end{matrix} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{matrix} u - v = 1 \ (u - v)^{2} + 3uv = 37 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} u - v = 1 \ uv = 12 end{matrix} right.) (Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} left{ begin{matrix} u = - 3 \ v = - 4 end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} u = 4 \ v = 3 end{matrix} right. end{matrix} right.)

Với = -3 , v = - 4 ta có : x = - 61

Với = 4, v = 3 ta có : x = 30 vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = -61 hoặc x = 30

Bài 6. Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} x^{4} - 4x^{2} + y^{2} - 6y + 9 = 0 \ x^{2}y + x^{2} + 2y - 22 = 0 end{matrix} right.).

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

(left{ begin{matrix} (x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 \ left( x^{2} + 2 right)y + x^{2} - 22 = 0 end{matrix} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{matrix} (x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 \ (x^{2} - 2 + 4)(y - 3 + 3) + x^{2} - 2 - 20 = 0 end{matrix} right.)

Đặt (left{ begin{matrix} x^{2} - 2 = u \ y - 3 = v end{matrix} right.) . Thay vào hệ phương trình ta có:

(left{ begin{matrix} u^{2} + v^{2} = 4 \ u.v + 4(u + v) = 8 end{matrix} right.)

(left{ begin{matrix} u = 0 \ v = 2 end{matrix} right.) hoặc (left{ begin{matrix} u = 0 \ v = 2 end{matrix} right.)

Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:( left{ begin{matrix} x = 2 \ y = 3 end{matrix} right.);(left{ begin{matrix} x = - 2 \ y = 3 end{matrix} right.);(left{ begin{matrix} x = sqrt{2} \ y = 5 end{matrix} right.);(left{ begin{matrix} x = - sqrt{2} \ y = 5 end{matrix} right.).

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 1

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, (left{ begin{array}{l} {x^3} + xy + {y^3} = 3\ 2x + xy + 2y = - 3 end{array} right.) 2, (left{ begin{array}{l} x + y + 2xy = 2\ {x^3} + {y^3} = 8 end{array} right.) 3, (left{ begin{array}{l} x + y + 2xy = 5\ {x^2} + {y^2} + xy = 7 end{array} right.) 4, (left{ begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} = 7\ {x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = 21 end{array} right.) 5, (left{ begin{array}{l} x + y + 2xy = 2\ {x^3} + {y^3} = 8 end{array} right.) 6, (left{ begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 19\ left( {x + y} right)left( {8 + xy} right) = 2 end{array} right.)

Bài 2: Xác định nghiệm của các hệ phương trình sau:

a, (left{ begin{matrix} x^{2} = y + 2 \ y^{2} = x + 2 \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} 2x^{2} - 3x = y^{2} - 2 \ 2y^{2} - 3y = x^{2} - 2 \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \ x + xy + y = 9 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

a, Trừ theo vế của phương trình ta được: (x^{2} - y^{2} = y - x Leftrightarrow (x - y)(x + y + 1) = 0)

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau đây:

a, (left{ begin{matrix} x = dfrac{2y}{1 - y^{2}} \ y = dfrac{2x}{1 - x^{2}} \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + y + dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} = 5 \ x^{2} + y^{2} + dfrac{1}{x^{2}} + dfrac{1}{y^{2}} = 9 \ end{matrix} right.)

c, (left{ begin{matrix} (x + y)left( 1 + dfrac{1}{x + y} right) = 5 \ left( x^{2} + y^{2} right)left( 1 + dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} right) = 49 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

a, Hệ (Leftrightarrow left{ begin{matrix} xleft( 1 - y^{2} right) = 2y \ yleft( 1 - x^{2} right) = 2x \ end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} x - xy^{2} = 2y \ y - x^{2}y = 2x \ end{matrix} right.) rồi thực hiện trừ vế

b, Đặt: (left{ begin{matrix} a = dfrac{1}{x} + x \ b = dfrac{1}{y} + y \ end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} x^{2} + dfrac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2 \ y^{2} + dfrac{1}{y^{2}} = b^{2} - 2 \ end{matrix} right.), Thay vào hệ phương trình

c, (left{ begin{matrix} x + y = a \ x^{2} + y^{2} = b \ end{matrix} right.)

Bài 4: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x^{2} + 1 = 3y \ y^{2} + 1 = 3x \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + y + xy = 7 \ x^{2} + y^{2} - xy = 19 \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x + xy + y = 2 + 3sqrt{2} \ x^{2} + y^{2} = 6 \ end{matrix} right.)

Bài 5: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x + y + sqrt{xy} = 14 \ x^{2} + y^{2} + xy = 84 \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} xsqrt{y} + ysqrt{x} = 30 \ xsqrt{x} + ysqrt{y} = 35 \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = 481 \ x^{2} + xy + y^{2} = 37 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

b, Đặt (left{ begin{matrix} a = sqrt{x} \ b = sqrt{y} \ end{matrix} right.)

c, Biến đổi hệ phương trình (left{ begin{matrix} xsqrt{y} + ysqrt{x} = 30 \ xsqrt{x} + ysqrt{y} = 35 \ end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} left( x^{2} + y^{2} right)^{2} - x^{2}y^{2} = 481 \ x^{2} + xy + y^{2} = 37 \ end{matrix} right.)

Đặt: (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a \ xy = b \ end{matrix} right.)

Bài 6: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x^{4} + 3x^{2}y^{2} + y^{4} = 109 \ x^{2} + xy + y^{2} = 13 \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x + y + xy = 3 \ x + y - xy = 1 \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 4 \ x^{2} + xy + y^{2} = 6 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

a, Biến đổi (left{ begin{matrix} x^{4} + 3x^{2}y^{2} + y^{4} = 109 \ x^{2} + xy + y^{2} = 13 \ end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} left( x^{2} + y^{2} right)^{2} + x^{2}y^{2} = 109 \ x^{2} + y^{2} + xy = 13 \ end{matrix} right.)

Bài 7: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \ x + xy + y = 9 \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} + xy = 15 \ 6(x + y) = 3xy \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 7 \ x^{3} + y^{3} = 3(x + y) \ end{matrix} right.)

Bài 8: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 7 \ x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = 21 \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = 931 \ x^{2} - xy + y^{2} = 19 \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} xsqrt{y} + ysqrt{x} = 12 \ xsqrt{x} + ysqrt{y} = 28 \ end{matrix} right.)

Bài 9: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 7 \ x^{3} + y^{3} = 3xy \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 8 \ x + y + 2xy = 2 \ end{matrix} right.) c, (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} + xy = 13 \ x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2} = 91 \ end{matrix} right.)

Bài 10: Giải hệ phương trình:

a, (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x + y = 4 \ x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 \ end{matrix} right.) b, (left{ begin{matrix} xy(x - y) = - 2 \ x^{3} - y^{3} = 2 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

a, Hệ (Leftrightarrow left{ begin{matrix} (x + y)^{2} - 2xy + x + y = 4 \ x^{2} + y^{2} + xy + x + y = 2 \ end{matrix} right.)

b, Đặt: t = - y thì hệ (Leftrightarrow left{ begin{matrix} - xt(x + t) = - 2 \ x^{3} + t^{3} = 2 \ end{matrix} right.)

Bài 11: Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} x^{3} - 3x^{2} - 9x + 22 = y^{3} + 3y^{2} - 9y \ x^{2} + y^{2} - x + y = 1/2 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

Đặt t = - y thì hệ phương trình tương đương (left{ begin{matrix} y^{3} + t^{3} + 3left( y^{2} + t^{2} right) - 9(t + y) = 22 \ y^{2} + t^{2} + t + y = 1/2 \ end{matrix} right.)

Bài 12: Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} xsqrt{y} + ysqrt{x} = 6 \ x^{2}y + y^{2}x = 20 \ end{matrix} right.)

Hướng dẫn

Đặt : (left{ begin{matrix} sqrt{x} = a \ sqrt{y} = b \ end{matrix} right. = > left{ begin{matrix} a^{2}b + b^{2}a = 6 \ a^{4}b^{2} + a^{2}b^{4} = 20 \ end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} ab(a + b) = 6 \ a^{2}b^{2}left( a^{2} + b^{2} right) = 20 \ end{matrix} right.)

Đặt: (left{ begin{matrix} a + b = u \ ab = v \ end{matrix} right.)

Bài 13: Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} xy + x + y = 3 \ x^{2} + y^{2} + x + y = 12 \ end{matrix} right.)

Bài 14: Tìm nghiệm của hệ phương trình :(left{ begin{matrix} xsqrt{y} + ysqrt{x} = 30 \ xsqrt{x} + ysqrt{y} = 35 \ end{matrix} right.)

Bài 15: Giải hệ phương trình: (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} + xy = 7 \ x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2} = 21 \ end{matrix} right.)

Bài 16: Xác định (x ; y) thỏa mãn : (left{ begin{matrix} x^{2} + y^{2} - xy = 61 \ x + y - sqrt{xy} = 7 \ end{matrix} right.).

-

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là một dạng toán có quy luật rõ ràng, chỉ cần bạn nắm được phương pháp đặt S = x + y và P = xy cùng các công thức biến đổi quen thuộc, việc giải sẽ trở nên nhanh chóng và chính xác. Trong quá trình luyện tập, hãy chú ý rèn kỹ năng nhận dạng biểu thức đối xứng và vận dụng linh hoạt vào các dạng nâng cao.

Hy vọng nội dung bài viết "Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1" thuộc Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 sẽ giúp bạn hệ thống hóa kiến thức, rút ngắn thời gian làm bài và đạt điểm tối đa ở dạng toán này. Đừng quên thực hành thêm nhiều bài tập và áp dụng đúng phương pháp để biến kỹ năng giải toán thành phản xạ tự nhiên khi bước vào phòng thi.