Làm rõ sự khác biệt giữa tích phân và nguyên hàm

Bạn biết đấy, khi bạn tìm tích phân bất định của một hàm 'f', người ta cứ nhồi nhét vào đầu bạn rằng bạn cần phải có +C ở cuối phải không? Nó để chỉ ra rằng bạn đang biểu diễn một tập hợp các hàm có đạo hàm là f, ví dụ x² + 3 và x² + 12391850198520912 đều có đạo hàm là 2x, và chắc chắn chúng không phải là duy nhất.

Lấy ví dụ trên, đầu tiên bạn tích phân 2x để có được một biểu diễn của các nghiệm tiềm năng được biểu diễn bởi x² + c. Nếu bạn được cho thêm một thông tin khác, ví dụ như tại x = 2 hàm số bằng 75, bạn có thể xác định được rằng c = 71 và có được một hàm chính xác như là nghiệm.

Nếu bạn học Toán nâng cao, bạn sẽ thấy rằng các phương trình vi phân (ODEs) có điều kiện ban đầu, vì vậy sau khi bạn tìm được nguyên hàm, bạn sẽ sử dụng các điều kiện ban đầu để tìm nghiệm chính xác của bài toán, giống như ví dụ trên. Lượng thông tin bổ sung cần thiết để tìm được hàm chính xác như một nghiệm cũng thay đổi tùy thuộc vào những gì bạn đang xử lý (phương trình vi phân cấp n, v.v...).

Bây giờ, tích phân có thể được hiểu một cách nôm na là tìm diện tích dưới đường cong được vẽ bởi các hàm số. Phương pháp được dạy đầu tiên là sử dụng một định lý khá mạnh mẽ như bạn có thể đoán được từ tên của nó, định lý cơ bản của giải tích, định lý này liên hệ diện tích dưới đường cong với nguyên hàm của nó. Sau này, khi nguyên hàm của các hàm khó tìm/không thể tìm được nhưng có tính chất tốt (quy tắc kinh nghiệm là bạn có thể vẽ chúng ra được), bạn làm điều đó bằng cách vẽ các hình chữ nhật ở bên dưới và cộng tổng diện tích của các hình chữ nhật đó lại, và làm lại điều đó với các hình chữ nhật nhỏ hơn và cộng tổng lại một lần nữa để xem giới hạn cuối cùng là gì. Đây sẽ là tích phân Riemann.

Có rất nhiều lý thuyết tích phân khác hoạt động với các hàm có tính chất xấu, nhưng chúng cho ra kết quả giống nhau khi làm việc với các hàm thực sự tốt, và giờ mình đang lạc đề rồi nên mình sẽ dừng lại ở đây.