Giải và biện luận phương trình bậc 2

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
• Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án
• Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét
• Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp miền giá trị
• Tổng hợp bài tập hình học ôn thi vào 10 có đáp án - Bộ đề trọng tâm giải chi tiết
• Bài toán xác suất thống kê ôn thi vào 10 Có đáp án - Tổng hợp các dạng hay gặp

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2

II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Lời giải chi tiết:

Phương trình là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: ∆ = b2 - 4ac = 9 - 4(m - 1)

= - 4m + 13

• Với ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

và

• Với ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

• Với ∆ > 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: Với m - 3 = 0 ⇒ m = 3, phương trình trở thành phương trình bậc nhất:

- 6x - 3 = 0

⇒

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Trường hợp 2: với m - 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3, phương trình là phương trình bậc hai:

Ta có: ∆' = b'2 - ac = m2 - (m - 3)(m - 6)

= 9m - 18

• Với ∆' > 0 ⇒ 9m - 18 > 0 ⇒ m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

và

• Với ∆' = 0 ⇒ 9m - 18 = 0 ⇒ m = 2 thì phương trình có nghiệm kép:

• Với ∆ < 0 ⇒ 9m - 18 < 0 ⇒ m < 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

Vậy với m = -1/4 phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

Vậy thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với ta có phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với phương trình vô nghiệm nếu

Vậy thì phương trình vô nghiệm.

Bài 6. Cho phương trình với m là tham số. Xác định các giá trị của m để phương trình có:

a. Nghiệm bằng 0.

b. Hai nghiệm phân biệt trái dấu.

c. Hai nghiệm phân biệt cùng dương.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình có nghiệm nên thay vào phương trình ta được:

b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi

c. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

hoặc

Theo hệ thức Viète ta có:

Hai nghiệm của phương trình cùng dương khi và

Suy ra

Kết hợp với điều kiện ta có: hoặc .

Bài 7. Cho phương trình với m là tham số. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho .

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

Theo hệ thức Viète ta có:

Hai nghiệm thỏa mãn

Suy ra

Hay có thể hiểu và trái dấu. Khi đó:

Kết hợp với điều kiện ta có m < 0 là các giá trị cần tìm.

Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) có hai nghiệm phân biệt.

c) có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

d có đúng một nghiệm dương.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương khi và chỉ khi

d) Vì với mọi

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có đúng một nghiệm dương .

III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài tập 1. Cho phương trình .

a) Tìm biết rằng phương trình có một nghiệm bằng 7.

b) Giải phương trình với vừa tìm được.

Hướng dẫn: là nghiệm của phương trình nên thay vào phương trình, ta dược: . Từ đó tìm được .

Bài tập 2. Tìm để phương trình có nghiệm.

Bài tập 3. Tìm để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: và .

Hướng dẫn: Tìm nghiệm của từng phương trình.

Bài tập 4. Giải và biện luận phương trình sau

a) (1)

b) (2)

Bài tập 5. Giải phương trình:

a)

b)

Bài tập 6. Với giá trị nào của phương trình sau đây vô nghiệm.

a) (1) b) (2)

c) (3) d) (4)

Hướng dẫn: Phương trình vô nghiệm

Bài tập 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép:

a) (1)

b) (2)

c) (3)

Hướng dẫn: Phương trình có nghiệm kép .

Bài tập 8. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.

a) (1)

b) (2)

c) (3)

d) (4)

Hướng dẫn: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

IV. Đáp án bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai

Bài tập 1.

a) Vì là một nghiệm của phương trình đã cho, nên thay vào phương trình, ta được:

b) Theo kết quả trên, với , phương trình đã cho trở thành:

(*)

Cách khác: Ta có: (*)

Ta cūng có thể biến đổi như sau: (*)

(tiếp tục như trên).

Bài tập 2.

Ta có:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Nhận xét: Ta có thể xét điểu kiện để phương trình vô nghiệm: .

Bài tập 3.

Ta có:

.

là nghiệm của phương trình khi .

là nghiệm của phương trình khi .

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo từng trường hợp của delta. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt các môn Toán ở nhiều cấp học khác nhau. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải phương trình bậc hai hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những kiến thức bổ ích và dễ hiểu.