Lý thuyết bất đẳng thức toán 9 chương trình mới

1. Khái niệm bất đẳng thức toán 9

- Trên tập hợp số thực, khi so sánh hai số a và b, xảy ra một trong ba trường hợp sau:

• Số a lớn hơn b, kí hiệu a b.
• Số a nhỏ hơn b, kí hiệu a b.
• Số a bằng b, kí hiệu a = b.

=> Ta nói tập hợp số thực là tập hợp được sắp thứ tự.

- Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số nhỏ hơn nằm bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn. Do đó, trục số được coi là hình ảnh của tập hợp số thực, cho phép chúng ta nhìn thấy được tứ tự của các số thực.

• Nếu x y hoặc x = y, ta viết x y;
• Nếu x y hoặc x = y, ta viết x y.

- Để diễn tả:

• Bình phương của số a luôn lớn hơn hoặc bằng 0, ta viết
• Số c không âm, ta viết c 0.
• Số m không dương, ta viết m 0.

=> Định nghĩa bất đẳng thức:

Hệ thức dạng a > b (hay a < b; a b, a b) được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

2. Tính chất của bất đẳng thức

2.1 Tính chất bắc cầu

- Cho ba số a, b, c. Nếu a > b và b > c thì a > c ( tính chất bắc cầu)

- Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, , .

2.2 Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

- Hai bất đẳng thức a > b và m > n được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

- Hai bất đẳng thức a > b và m < n được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

=> Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a, b, c. Nếu a > b thì a + c > b + c

- Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, , .

2.3 Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho, khi nhân với số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Tổng quát: Cho ba số a, b, c và a > b

+ Nếu c > 0 thì a.c > b.c;

+ Nếu c < 0 thì a.c < b.c

- Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, , .

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

4. Bài tập bất đẳng thức toán 9 chương trình mới

4.1 Bài tập bất đẳng thức toán 9 kết nối tri thức

Bài 2.6 trang 35 SGK Toán 9/1 Kết nối tri thức

a) x -2;

b) m < 0;

c) y > 0;

d) p 2024.

Bài 2.7 trang 35 SGK Toán 9/1 Kết nối tri thức

a) Gọi x là số tuổi của bạn => Bất đẳng thức phù hợp là x 18.

b) Gọi y là số người xe buýt có thể chở được => Bất đẳng thức phù hợp là y 45.

c) Gọi z là mức lương cho một giờ làm việc => Bất đẳng thức phù hợp là z 20000.

Bài 2.8 trang 35 SGK Toán 9/1 Kết nối tri thức

a) Vì -7 < -1 nên 2 . (-7) < 2 . (-1)

=> 2 . (-7) + 2023 < 2 . (-1) + 2023.

b) Vì -8 < -7 nên (-3) . (-8) > (-3) . (-7)

=> (-3) . (-8) + 1975 > (-3) . (-7) + 1975.

Bài 2.9 trang 35 SGK Toán 9/1 Kết nối tri thức

a) Vì a < b nên 5a < 5b, suy ra 5a + 7 < 5b + 7.

Vậy 5a + 7 < 5b + 7.

b) Vì a < b nên -3a > -3b, suy ra -3a - 9 > -3b - 9.

Vậy -3a - 9 > -3b - 9.

Bài 2.10 trang 35 SGK Toán 9/1 Kết nối tri thức

a) Ta có: a + 1954 < b + 1954

=> a + 1954 - 1954 < b + 1954 - 1954 hay a < b.

Vậy a < b.

b) Ta có -2a > -2b nên , hay a < b.

Vậy a < b.

Bài 2.11 trang 35 SGK Toán 9/1 Kết nối tri thức

a) Ta có:

b) Ta có:

4.2 Bài tập bất đẳng thức toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 28 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) Trong Hình 4a, biển báo chỉ tốc độ tối đa cho phép là 70 km/h.

Do đó ta có v 70.

b) Trong Hình 4a, biển báo chỉ trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu không vượt quá 10 tấn.

Do đó ta có P 10.

Bài 2 trang 29 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) Bất đẳng thức diễn tả m lớn hơn 8 là: m > 8.

b) Bất đẳng thức diễn tả n nhỏ hơn 21 là: n < 21.

c) Bất đẳng thức diễn tả x nhỏ hơn hoặc bằng 4 là: x 4.

d) Bất đẳng thức diễn tả y lớn hơn hoặc bằng 0 là: y 0.

Bài 3 trang 29 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m > 5 với −4 ta được:

m - 4 > 5 - 4

m - 4 > 1.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là m - 4 > 1.

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x2 y + 1 với 9 ta được:

x2 + 9 y + 1 + 9

x2 + 9 y + 10.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là x2 + 9 y + 10.

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức x > 1 với 3, rồi tiếp tục cộng với 2 ta được:

3x > 3 . 1

3x + 2 > 3 . 1 + 2

3x + 2 > 5.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là 3x + 2 > 5.

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức m −1 với −1, rồi tiếp tục cộng với −7 ta được:

m − 1 −1 −1

m − 1 −2

m − 1 − 7 −2 − 7

m - 8 −9

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là m - 8 −9.

Bài 4 trang 29 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức x + 5 > y + 5 với -5 ta được:

x + 5 - 5 > y + 5 - 5

x > y.

Vậy x > y.

b) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức −11x -11y với -1/11 ta được:

-11x. (-1/11) -11y. (-1/11)

x y

c) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức 3x - 5 < 3y - 5 với 5 ta được:

3x - 5 + 5 < 3y - 5 + 5

3x < 3y.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức 3x < 3y với 1/3 ta được:

3x.1/3 < 3y.1/3 => x < y

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức −7x + 1 > −7y + 1 với −1 ta được:

−7x + 1 + (−1) > −7y + 1 + (−1)

−7x > −7y.

Nhân vào hai vế của bất đẳng thức −7x > −7y với -1/7 ta được:

-7x.(-1/7) < -7y.(-1/7) => x > y.

Bài 5 trang 29 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo

a) Trừ hai vế của bất đẳng thức a < b cho a, ta được:

0 < b - a hay b - a > 0 (điều phải chứng minh).

b) Trừ hai vế của bất đẳng thức a < b cho 2, ta được:

a - 2 < b - 2. (1)

Cộng hai vế của bất đẳng thức -2 < -1 cho b, ta được:

-2 + b < -1 + b hay b - 2 < b - 1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra a - 2 < b - 1 (điều phải chứng minh).

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b cho 2, ta được: 2a < 2b.

Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a < 2b cho b, ta được:

2a + b < 3b (điều phải chứng minh).

d) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b cho (-2), ta được: -2a > -2b.

Cộng hai vế của bất đẳng thức -2a > -2b cho (-3), ta được:

-2a - 3 > -2b - 3 (điều phải chứng minh).

4.3 Bài tập bất đẳng thức toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 33 SGK Toán 9/1 Cánh diều

a) Do 29 > 28 nên .

b) Do a > 11,5 nên 2a > 23 => 2a + 3,2 > 23 + 3,2 hay 2a + 3,2 > 26,2.

Do a < 11,6 nên 2a < 23,2, => 2a + 3,2 < 23,2 + 3,2 hay 2a + 3,2 < 26,4.

Vậy 26,2 < 2a + 3,2 < 26,4.

Bài 2 trang 34 SGK Toán 9/1 Cánh diều

a) Do m > n nên 2m > 2n, suy ra 2m + 3 > 2n + 3, do đó 2m + 4 > 2n + 3.

b) Do a < b nên -3a > -3b, suy ra -3a + 5 > -3b + 5.

Bài 3 trang 34 SGK Toán 9/1 Cánh diều

a) Xét hiệu:

Do a > b > 0 nên a - b > 0 và ab > 0.

Vậy

b) Ta có:

Theo câu a) ta có:

Do đó:

Hay

Bài 4 trang 34 SGK Toán 9/1 Cánh diều

Xét hiệu: x2 + y2 - 2xy = (x - y)2 ≥ 0 với mọi số thực x, y.

Vậy x2 + y2 ≥ 2xy với hai số thực x, y tuỳ ý.

Bài 5 trang 34 SGK Toán 9/1 Cánh diều

Sau 3 giờ uống rượu bia, nồng độ cồn trong máu của người đó là:

y = 0,076 - 0,008.3 = 0,052 (%)

Tức là, nồng độ cồn trong máu là 52 mg rượu trong 100ml máu.

Do 50 < 52 < 80 nên nếu người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức 2, với hình thức xử phạt từ 4 triệu đồng đến 5 triệu đồng và tước bằng lái xe từ 16 tháng đến 18 tháng.

Trên đây là bài học Lý thuyết bất đẳng thức toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Phương trình bậc nhất hai ẩn
• Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn