Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n lớn hơn bằng 3: 2^(n+1) > n^2 + n + 2

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2

Lời giải:

Bước 1. Với n = 3, ta có 23 + 1 = 16 > 14 = 32 + 3 + 2. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 3.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là có: 2k + 1 > k2 + k + 2.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

2(k +1) + 1 > (k + 1)2 + (k + 1) + 2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k ≥ 3, ta có:

2(k +1) + 1 = 2 . 2k + 1 > 2(k2 + k + 2) = 2k2 + 2k + 4 = k2 + k2 + 2k + 4 > k2 + k + 2k + 4

= (k2 + 2k + 1) + (k + 1) + 2 = (k + 1)2 + (k + 1) + 2.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Link nội dung: https://superkids.edu.vn/sach-chuyen-de-toan-10-chan-troi-sang-tao-a38893.html