Lý thuyết Nhị thức Newton - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Một số công thức khai triển

({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4} )

(= {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}).

({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5})

( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}).

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton ({(a + b)^n}) ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton ({(a + b)^n}) với n = 0; 1; 2; 3;… được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số dưới đây. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũ tên trên bảng). Bảng số này được gọi là tam giác Pascal.

2. Công thức khai triển tổng quát

({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}).

Nhận xét:

- Số hạng tổng quát trong khai triển của ({(a + b)^n}) đều có dạng (C_n^k{a^{n - k}}{b^k}) ((0 le k le n)).

- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của ({(a - b)^n}) như sau:

({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...), ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

Ví dụ: ({(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3})

(= C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}).

Có thể xem thêm trong Chuyên đề học tập Toán 10.

B. Bài tập

Bài 1: Khai triển biểu thức ({(x + 1)^4}).

Giải:

Xác định số hạng: a = x, b = 1.

({(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} )

(= {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1).

Bài 2: Khai triển biểu thức ({(x - 1)^4}).

Giải:

Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.

Nếu coi a = x, b = -1:

({(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4})

(= {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1).

Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:

({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...), khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).

Bài 3:

a) Khai triển biểu thức ({(x - 2y)^4}) và tìm hệ số của số hạng chứa ({y^4}).

b) Khai triển biểu thức ({(3x - y)^5}).

Giải:

a) Coi a = x, b = -2y.

({(x - 2y)^4} = {left[ {x + ( - 2y)} right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4})

( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}).

Số hạng chứa ({y^4}) là (16{y^4}), hệ số là 16.

b) Coi a = 3x, b = -y.

({(3x - y)^5} = {left[ {3x + ( - y)} right]^5})

( = {left( {3x} right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5})

( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}).

Bài 4:

a) Xác định hệ số của ({x^6}) trong khai triển ({left( {2x + 1} right)^{12}}).

b) Xác định hệ số của ({x^9}) trong khai triển ({left( {3x - 2} right)^{18}}).

Giải:

a) Số hạng chứa ({x^6}) là (C_{12}^6.{left( {2x} right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}). Hệ số của ({x^6}) là (C_{12}^6{.2^6}).

b) Số hạng chứa ({x^9}) là (C_{18}^9.{left( {3x} right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} = - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}). Hệ số của ({x^9}) là ( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} = - C_{18}^9{.6^9}).

Bài 5: Cho tập hợp A = { a; b; c; d; e }. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?

Giải:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử (1 ≤ k ≤ 5) là một tổ hợp chập k của A. Do đó, số tập con như vậy bằng (C_5^k). Mặt khác, có một tập con của A không có phần tử nào (tập rỗng), tức có (C_5^0 = 1) tập con như vậy. Do đó, số tập con của A bằng (C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5). Theo công thức nhị thức Newton, ta có (C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {(1 + 1)^5} = {2^5}).

Vậy A có ({2^5} = 32) tập con.