Tại sao e^x không thể âm?

Ý nghĩa của ex phụ thuộc vào giá trị của x:

1. Nếu x là số nguyên dương, thì ex = e · e ⋯ e (có tổng cộng x số e). Ví dụ, e2 = e · e ≈ 2.718 · 2.718 ≈ 7.389. Nhân thêm các số e nữa sẽ cho ra số lớn hơn, nhưng chắc chắn luôn dương.

2. Nếu x là số nguyên âm, thì ex = 1/(e-x), trong đó e-x giờ là e mũ một số nguyên dương và do đó là phép nhân lặp lại, giống như trường hợp 1. Ví dụ, e-3 = 1/(e3) ≈ 1/20.086 ≈ 0.0498. Chia 1 cho một số dương vẫn cho ra một số dương.

3. Nếu x bằng không, ex = e0 = 1.

4. Nếu x = p/q là một số hữu tỉ, thì ex = ep/q = q√(ep). Một phần của định nghĩa ᵖ√ đối với các đối số dương là nó đề cập đến căn dương của một đa thức (ví dụ, √4 là số dương mà x2 = 4, tất nhiên là 2). Do đó q√(ep) phải là một số dương.

5. Nếu x là một số thực, thì ex sẽ bằng giới hạn của một dãy số epᵢ/qᵢ, trong đó pᵢ/qᵢ là một dãy số hữu tỉ có giới hạn là x. Điều này đảm bảo rằng hàm ex là liên tục. Mỗi epᵢ/qᵢ đều dương dựa trên các trường hợp trước. Nhìn chung, một dãy số dương có thể có giới hạn là không, nhưng vì pᵢ/qᵢ hội tụ nên thực tế epᵢ/qᵢ cũng không thể bằng không.

Tất cả các trường hợp đó luôn dẫn đến ex > 0 với mọi x thực.

6. Nếu x là một số phức, a+b?, thì ea+b? được định nghĩa là ea · (cos(b)+? sin(b)), và trong trường hợp này giá trị thực sự có thể âm (nó âm chính xác khi b là một bội số lẻ của π).

Tuy nhiên, mình đoán chủ thớt chỉ hỏi về các giá trị thực của x, chứ không phải số phức.

Nhân tiện, có thể bỏ qua tất cả các trường hợp riêng biệt đó và chỉ định nghĩa ex là chuỗi

ex = 1 + x + x2/2 + x3/3! + x4/4! + x5/5! + ⋯

cho tất cả các x thực hoặc phức. Tuy nhiên, các lũy thừa lẻ của một số âm là âm, vì vậy không dễ để thấy tại sao ex > 0 bằng định nghĩa này. Đó là lý do tại sao mình đã sử dụng các trường hợp dựa trên các loại số thay thế.