Toàn bộ các dạng toán về phương trình cosx = a cực hay

Phương trình lượng giác cơ bản thứ hai trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chúng ta tìm hiểu đó là phương trình cosx = a. Ở phần trước các bạn đã được biết công thức nghiệm của phương trình sinx = a. Công thức nghiệm của phương trình cosx = a có gì giống và khác, có dễ nhớ hơn hay không? Để trả lời cho câu hỏi trên, chúng ta cùng tìm hiểu trong bài sau đây.

1. Công thức nghiệm của phương trình cosx = a

1.1. Công thức nghiệm của phương trình cosx = a (2) tính bằng radian

- Nếu |a| > 1 ⇒ Phương trình (2) vô nghiệm (do |cosx| ≤ 1, ∀x ∈ ).

- Nếu |a| ≤ 1:

+ Xác định α sao cho cosα = a.

Vậy phương trình cosα = a ⇔ cosx = cosα ⇔

+ Nếu số thực α thoả mãn điểu kiện thì ta viết α = arccosa (đọc là ac-cos-a).

Khi đó cosx = a ⇔

Chú ý:

+ arccos(a) là cung thuộc [0; π] mà có cos bằng a

+ Phương trình cosx = a có nghiệm ⇔ |a| ≤ 1.

+ Phương trình cos(u(x)) = cos(v(x)) ⇔

1.2. Công thức nghiệm của phương trình cosx = a tính bằng độ

Phương trình cosx = cosβo có các nghiệm là

Lưu ý: Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác, ta không được dùng cùng lúc 2 đơn vị độ và radian.

1.3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình cosx = a

+ a = 1 hay cosx = 1 có các nghiệm là

x = k2π, k ∈

+ a = -1 hay cosx = -1 có các nghiệm là

x = π + k2π, k ∈

+ a = 0 hay cosx = 0 có các nghiệm là

x = + kπ, k ∈

2. Các dạng bài tập về phương trình cosx = a

2.1. Dạng toán 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản dạng cosx = a

*Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức nghiệm trên để giải toán.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) cos(2x + 5) =

Giải

Ta có cos(2x + 5) =

⇔ cos(2x + 5) =cos

⇔

⇔

⇔

Vậy các nghiệm của phương trình là x = và x = , k ∈

b) cos(-5x+7) = -2

Giải

Vì -1 ≤ cosx ≤ 1 mà -2 ∉ [-1; 1]. Vậy phương trình vô nghiệm.

c) cos(7x - 30o) = -1

Hướng dẫn giải: Ta thấy a = -1, đây là giá trị nằm trong các trường hợp đặc biệt ở mục 3 phần I. Ta áp dụng công thức nghiệm và giải. Ngoài ra, vế trái của phương trình tính theo đơn vị độ nên ta chuyển đơn vị radian qua đơn vị độ ( π = 180o; 2π = 360o).

Giải

Ta có cos(7x - 30o) = -1

⇔ 7x - 30o = 180o + k360o

⇔ 7x = 180o + 30o + k360o

⇔ 7x = 210o + k360o

⇔ x = 30o + k, k ∈

2.2. Dạng toán 2: Cách tìm số nghiệm của phương trình cosx = a thuộc khoảng (m;n), đoạn [m;n] hay nửa khoảng [m;n)

*Phương pháp giải:

• Bước 1: Giiải phương trình cosx = a như ở dạng 1

• Bước 2: Xét các nghiệm x thoả mãn m < x < n. Từ đó ta suy ra giá trị của k (k ∈ ).

• Bước 3: Kết luận: Số giá trị nguyên k bằng số nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Số nghiệm của phương trình cos(-3x) = trong đoạn [-π; π] là

A. 2

B. 4

C. 5

D. 3

Giải

Ta có cos(-3x) =

⇔ cos(-3x) = cos

⇔

⇔

Xét -π ≤ ≤ π

⇔ ≤ ≤

⇔ -1,625 ≤ k ≤ 1,375

⇒ k = -1; 0; 1

Vậy số nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán là 3.

Chọn đáp án D.

2.3. Dạng toán 3: Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình cosx = m

*Phương pháp giải:

• Bước 1: Cô lập cosx. Đưa phương trình về dạng cosx = f(m) (1)

• Bước 2:

+ Phương trình (1) có nghiệm khi -1 ≤ cosx ≤ 1

⇔ -1 ≤ f(m) ≤ 1

+ Phương trình vô nghiệm khi |cosx| > 1 ⇔ f(m) > 1 hoặc f(m) < -1

• Bước 3: Giải tìm m và kết luận.

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos(-10x+3) - m = 0 (2) vô nghiệm?

Giải

Ta có cos(-10x+3) - m = 0

⇔ cos(-10x+3) = 2m

Để phương trình (2) vô nghiệm ⇔ 2m > 1 hoặc 2m < -1

⇔ m > 0,5 hoặc m < -0,5

Vậy với m > 0,5 hoặc m < -0,5 thì phương trình (2) vô nghiệm.

3. Bài tập củng cố về phương trình cosx = a

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm, phương trình nào vô nghiệm? Vì sao?

a) 5cos(7x - 2) = 3

b) cos(x + 45o) - 2 = 0

c) -2cos(5x) = 4

d) 2cos(20x - 3) - 1 = 0

a) Ta có 5cos(7x - 2) = 3 (3)

⇔ cos(7x - 2) =

Vì -1 < < 1 nên phương trình (3) có nghiệm.

b) Ta có cos(x + 45o) - 2 = 0 (4)

⇔ cos(x + 45o) = 2

Vì 2 > 1 nên phương trình (4) vô nghiệm.

c) Ta có -2cos(5x) = 4 (5)

⇔cos(5x) = -2

Vì -2 < -1 nên phương trình (5) vô nghiệm.

d) Ta có 2cos(20x - 3) - 1 = 0

⇔ cos(20x - 3) =

Vì -1 < < 1 nên phương trình (6) có nghiệm.

Câu 2: Phương trình nào trong các phương trình sau có 2 nghiệm thuộc (0o; 180o)?

A. cosx =

B. cos(x + 50o) =

C. cos(2x + 30o) =

D. cosx =

Câu A: cosx = ⇔ cosx = cos135o ⇔ x = ± 135o + k360o chỉ có một nghiệm x = 135o thuộc (0o; 180o).

Câu B: cos(x + 50o) = ⇔ cos(x + 50o) = cos30o

⇔

⇔

⇒ Phương trình không có nghiệm nào thuộc (0o; 180o).

Câu C: cos(2x + 30o) = ⇔ cos(2x + 30o) = cos 60o

⇔

⇔

⇔

⇒ Phương trình có 2 nghiệm x = 15o và x = 135o thuộc (0o; 180o).

Câu D: cosx = vô nghiệm vì < -1.

Chọn đáp án C.

Câu 3: Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình cosx = là:

A. x =

B. x =

C. x =

D. x = ±150o + k360o, k ∈

Ta kiểm tra từng đáp án bằng cách bấm máy và thấy cos =

Ngoài ra ta có thể kiểm tra trên đường tròn lượng giác.

Chọn đáp án A.

Câu 4: Cho phương trình cosx + m -1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

A. m < 1 -

B. m > 1 +

C. 1 - ≤ m ≤ 1 +

D. - ≤ m ≤

Ta có cosx + m -1 = 0 (7)

⇔ cosx = 1 - m

⇔ cos x =

Để phương trình (7) có nghiệm ⇔ -1 ≤ ≤ 1

⇔ - ≤ 1 - m ≤

⇔ - - 1 ≤ - m ≤ - 1

⇔ + 1 ≥ m ≥ 1 -

Chọn đáp án C.

Câu 5: Nghiệm của phương trình cos(2x + 20o) = 1, với - 90o < x < 90o là:

A. x = 10o

B. x = -10o

C. x = 20o

D. x = -20o

Ta có cos(2x + 20o) = 1

⇔ 2x + 20o = k360o

⇔ 2x = - 20o + k360o

⇔ x = - 10o + k180o

Xét -90o < -10o + k180o < 90o

⇔ -80o < k180o < 100o

⇔ - 0,44 < k < 0,56

⇒ k = 0

⇒ x = - 10o

Chọn đáp án B.

Chắc riêng mỗi bạn đã có câu trả lời cho câu hỏi ở phần mở đầu là "Công thức nghiệm của phương trình cosx = a dễ nhớ hơn công thức nghiệm của phương trình sinx = a hay không?". Xuyên suốt bài trên là toàn bộ công thức, phương pháp, các ví dụ và bài tập có lời giải chi tiết. VOH Giáo Dục hy vọng rằng các bạn sẽ rút ra được những lỗi dễ mắc phải và phương pháp cho mình để giải các bài tập trên lớp một cách dễ dàng.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang