Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Cánh Diều

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm ({x_0}) và hàm số (f(x)) xác định trên K hoặc trên (Kbackslash left{ {{x_0}} right}). Hàm số (f(x)) có giới hạn là số L khi (x) dần tới ({x_0}) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, ({x_n} in Kbackslash left{ {{x_0}} right}) và ({x_n} to {x_0}) thì (f({x_n}) to L).

Kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) hay (f(x) to L), khi ({x_n} to {x_0}).

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} g(x) = M)(left( {L,M in mathbb{R}} right)) thì:

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {f(x) pm g(x)} right] = L pm M);

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {f(x).g(x)} right] = L.M);

(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {frac{{f(x)}}{{g(x)}}} right] = frac{L}{M}left( {M ne 0} right)).

b) Nếu (f(x) ge 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L) thì (L ge 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} sqrt {f(x)} = sqrt L ).

3. Giới hạn một phía

- Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {a;{x_0}} right)). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số (y = f(x)) khi (x to {x_0}) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, (a < {x_n} < {x_0}) và ({x_n} to {x_0}) ta có (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) = L).

- Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {{x_0};b} right)). Số L là giới hạn bên của hàm số (y = f(x)) khi (x to {x_0}) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, ({x_0} < {x_n} < b) và ({x_n} to {x_0}) ta có (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = L).

* Nhận xét: (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = L Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ - } f(x) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}^ + } f(x) = L).

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {a; + infty } right)). Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn là số L khi (x to + infty ) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, ({x_n} > a) và ({x_n} to + infty ), ta có (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = L) hay (f(x) to L) khi (x to + infty ).

- Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( { - infty ;b} right)). Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn là số L khi (x to - infty ) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right))bất kì ({x_n} < b) và ({x_n} to - infty )ta có (f({x_n}) to L), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to - infty } f(x) = L) hay (f(x) to L) khi (x to - infty ).

* Nhận xét:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

(mathop {lim }limits_{x to + infty } c = c), (mathop {lim }limits_{x to - infty } c = c),(mathop {lim }limits_{x to + infty } (frac{c}{{{x^k}}}) = 0,mathop {lim }limits_{x to - infty } (frac{c}{{{x^k}}}) = 0).

III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {a; + infty } right)). Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn ( + infty ) khi (x to {a^ + }) nếu với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì, ({x_n} > a) và ({x_n} to a)ta có (f({x_n}) to + infty ).

Kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} f(x) = + infty ) hay (f(x) to + infty ) khi (x to {a^ + }).

- Các giới hạn (mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} f(x) = - infty), (mathop {lim }limits_{x to {a^ - }} f(x) = + infty ), (mathop {lim }limits_{x to {a^ - }} f(x) = - infty ) được định nghĩa tương tự.

IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (left( {a;{x_0}} right)). Ta nói hàm số (f(x)) có giới hạn ( + infty ) khi (x to {x_0}) về bên trái nếu với dãy số (left( {{x_n}} right))bất kì, ({x_n} > a) và ({x_n} to + infty ) ta có (f({x_n}) to + infty ), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = + infty ).

Kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = + infty ) hay (f(x) to + infty ) khi (x to + infty ).

- Các giới hạn (mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = - infty ), (mathop {lim }limits_{x to - infty } f(x) = + infty ), (mathop {lim }limits_{x to - infty } f(x) = - infty ) được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

• (mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^k} = + infty ,k in {mathbb{Z}^ + }).
• (mathop {lim }limits_{x to - infty } {x^k} = + infty ,) k là số nguyên dương chẵn.
• (mathop {lim }limits_{x to - infty } {x^k} = - infty ,) k là số nguyên dương lẻ.
•