Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có M(x;y) nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi

(IM = R Leftrightarrow sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2}} = R Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}).

Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R là

({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}).

Nhận xét: Phương trình đường tròn ({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}) có thể được viết dưới dạng ({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0).

Phương trình ({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi ({a^2} + {b^2} > c). Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} - c} ).

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b) tại điểm ({M_0}({x_0};{y_0})) nằm trên đường tròn là:

(({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0).

B. Bài tập

Bài 1:

a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: ({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16).

b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2;-1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải:

a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng ({(x - 2)^2} + {(y - ( - 3))^2} = {4^2}).

Vậy (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 4.

b) Đường tròn (C’) có tâm J(2;-1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:

({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 64).

Bài 2: Phương trình ({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0) có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Giải:

Từ phương trình, ta có (a = frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2); (b = frac{2}{{ - 2}} = - 1); c = -4.

Suy ra ({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {( - 1)^2} - ( - 4) = 9 > 0).

Vậy phương trình ({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0) là phương trình đường tròn tâm I(2;-1) và bán kính (R = sqrt 9 = 3).

Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1;1), B(0;-2), C(0;2).

Giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a;b). Ta có (IA = IB = IC Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}).

Khi đó:

(left{ begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {(1 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2}{(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {(2 - b)^2}end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a - 2b + 2 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4{a^2} + {b^2} + 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2a - 2b = 4b + 2b = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1b = 0end{array} right.).

Đường tròn tâm I(1;0) bán kính (R = IC = sqrt {{a^2} + {b^2} - 4b + 4} = sqrt 5 ).

Phương trình đường tròn là ({(x - 1)^2} + {(y - 0)^2} = {(sqrt 5 )^2}).

Vậy phương trình đường tròn là ({(x - 1)^2} + {y^2} = 5).

Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình ({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5). Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải:

Do ({(0 + 1)^2} + {(1 - 3)^2} = 5), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có vecto pháp tuyến ( - 1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0).