Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu (left| {{u_n}} right|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = 0) hay ({u_n} to 0) khi (n to + infty ).

Ta nói dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n} - a} right) = 0), kí hiệu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a) hay ({u_n} to a) khi (n to + infty ).

* Chú ý: Nếu ({u_n} = c) (c là hằng số) thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = c)

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Nếu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a,mathop {lim }limits_{n to + infty } {v_n} = b) thì

(mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n} pm {v_n}) = a pm b)

(mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b)

(mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = frac{a}{b}left( {b ne 0} right))

b) Nếu ({u_n} ge 0) thì với mọi n và (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a) thì (a ge 0) và (mathop {lim }limits_{n to + infty } sqrt {{u_n}} = sqrt a ).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

(S = frac{{{u_1}}}{{1 - q}}left( {left| q right| < 1} right))

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là có giới hạn ( + infty ) khi (n to + infty ) nếu ({u_n}) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty ) hay ({u_n} to + infty ) khi (n to + infty ).

Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là có giới hạn ( - infty ) khi (n to + infty ) nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } left( { - {u_n}} right) = + infty ), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = - infty ) hay ({u_n} to - infty ) khi (n to + infty ).

*Quy tắc:

Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = a) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = + infty ) (hoặc(mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = - infty )) thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0).

Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = a > 0), (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = 0) và ({v_n} >0 ) với mọi n thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + infty ).

Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = a > 0) thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n}.{v_n}) = + infty ).