Tìm các nguyên hàm sau 1.(intfrac{9x^2}{sqrt{1-x^3}}dx) 2.(intfrac{1}{sqrt{x}left(1 sqrt{x}right)^3}dx) 3.(intfrac{x}{sqrt{2x 3}}dx) 4.(int) (frac{e^{2x}}{sqrt{1 e^x}})...

a) Dùng phương pháp hữu tỉ hóa "Nếu (fleft(xright)=Rleft(e^xright)Rightarrow t=e^x)" ta có (e^x=tRightarrow x=ln t,dx=frac{dt}{t})

Khi đó (I_1=intfrac{t^3}{t+2}.frac{dt}{t}=intfrac{t^2}{t+2}dt=intleft(t-2+frac{4}{t+2}right)dt)

(=frac{1}{2}t^2-2t+4lnleft(t+2right)+C=frac{1}{2}e^{2x}-2e^x+4lnleft(e^x+2right)+C)

b) Hàm dưới dấu nguyên hàm

(fleft(xright)=frac{sqrt{x}}{x+sqrt[3]{x^2}}=Rleft(x;x^{frac{1}{2}},x^{frac{2}{3}}right))

q=BCNN(2;3)=6

Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa theo :

"Nếu (fleft(xright)=Rleft(x:left(ã+bright);left(ax+bright)^{r2},....right),r_k=frac{P_k}{q_k}in Q,k=1,2,...,mRightarrow t=left(ax+bright)^{frac{1}{q}}),q=BCNN (left(q_1,q_2,...,q_mright))"

=> (t=x^{frac{1}{6}}Rightarrow x=t^{6,}dx=6t^5dt)

Khi đó nguyên hàm đã cho trở thành :

(I_2=intfrac{t^3}{t^6-t^4}6t^{5dt}=intfrac{6t^4}{t^2-1}dt=6intleft(t^2+1+frac{1}{t^2-1}right)dt)

(=6intleft(t^2+1right)dt+2intfrac{dt}{left(t-1right)left(t+1right)}=2t^3+6t+3intfrac{dt}{t-1}-3intfrac{dt}{t+1})

(=2t^2+6t+3lnleft|t-1right|-3lnleft|t+1right|+C=2sqrt{x}+6sqrt[6]{x}+3lnleft|frac{sqrt[6]{x-1}}{sqrt[6]{x+1}}right|+C)

c) Hàm dưới dấu nguyên hàm có dạng :

(fleft(xright)=Rleft(x;left(frac{x+1}{x-1}right)^{frac{2}{3}};left(frac{x+1}{x-1}right)^{frac{5}{6}}right))

q=BCNN (3;6)=6

Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa được

(t=left(frac{x+1}{x-1}right)^{frac{1}{6}}Rightarrow x=frac{t^6+1}{t^6-1},dx=frac{-12t^5}{left(t^6-1right)^2}dt)

Khi đó hàm dưới dấu nguyên hàm trở thành

(Rleft(tright)=frac{1}{left(frac{t^6+1}{t^6-1}right)^2-1}left[t^4-t^5right]=frac{left(t^6-1right)^2}{4t^6}left(t^4-t^5right))

Do đó :

(I_3=intfrac{left(t^6-1right)^2}{4t^6}left(t^4-t^5right).frac{-12t^5}{left(t^6-1right)}dt=3intleft(t^4-t^3right)dt)

(=frac{5}{3}t^5-frac{3}{4}t^4+C=frac{3}{5}sqrt[6]{left(frac{x+1}{x-1}right)^5}-frac{3}{4}sqrt[3]{left(frac{x+1}{x-1}right)^2}+C)