Giải SGK Toán 11 trang 40, 41 Chân trời sáng tạo tập 1

Bài 1 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

(begin{array}{l}a,,,sin2x = ;frac{1}{2}b);sin(x - frac{pi }{7}) = sinfrac{{2pi }}{7}c);sin4x - cosleft( {x + frac{pi }{6}} right) = 0end{array})

Phương pháp:

Phương trình sinx = m ,

Khi đó, tồn tại duy nhất (alpha in left[ { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right]) thoả mãn (sin alpha = m),

({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = m Leftrightarrow sin x = sin alpha ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi x = pi - alpha + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

Lời giải:

a) Vì (sin frac{pi }{6} = frac{1}{2}) nên ta có phương trình (sin2x = sin frac{pi }{6})

( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x = frac{pi }{6} + k2pi 2x = pi - frac{pi }{6} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{{12}} + kpi x = frac{{5pi }}{{12}} + kpi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

(begin{array}{l}b,,,sin(x - frac{pi }{7}) = sinfrac{{2pi }}{7} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x - frac{pi }{7} = frac{{2pi }}{7} + k2pi x - frac{pi }{7} = pi - frac{{2pi }}{7} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{{3pi }}{7} + k2pi x = frac{{6pi }}{7} + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right)end{array})

(begin{array}{l};c);sin4x - cosleft( {x + frac{pi }{6}} right) = 0 Leftrightarrow sin4x = cosleft( {x + frac{pi }{6}} right) Leftrightarrow sin4x = sin left( {frac{pi }{2} - x - frac{pi }{6}} right) Leftrightarrow sin4x = sin left( {frac{pi }{3} - x} right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}4x = frac{pi }{3} - x + k2pi 4x = pi - frac{pi }{3} + x + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{{15}} + kfrac{{2pi }}{5}x = frac{{2pi }}{9} + kfrac{{2pi }}{3}end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right)end{array})

Bài 2 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

(begin{array}{l}a);,cos(x + frac{pi }{3}) = frac{{sqrt 3 }}{2}b);,cos4x = cosfrac{{5pi }}{{12}}c);,co{s^2}x = 1end{array})

Phương pháp:

Phương trình ({rm{cosx}} = m),

Khi (left| m right| le 1)sẽ tồn tại duy nhất (alpha in left[ {0;pi } right]) thoả mãn ({rm{cos}}alpha = m). Khi đó:

({rm{cosx}} = m Leftrightarrow {rm{cosx}} = {rm{cos}}alpha ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi x = - alpha + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

Lời giải:

Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

(begin{array}{l}a){rm{ }}tanx = tan55^circ ;b,,tan left( {2x + frac{pi }{4}} right) = 0end{array})

Phương pháp:

Phương trình (tan x = m)có nghiệm với mọi m.

Với mọi (m in mathbb{R}), tồn tại duy nhất (alpha in left( { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)) thoả mãn (tan alpha = m). Khi đó:

(tan {rm{x}} = m Leftrightarrow tan x = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb{Z}.)

Lời giải:

a, Điều kiện xác định: (x ne 90^circ + k180^circ ).

Ta có:({rm{ }}tanx = tan55^circ Leftrightarrow x = 55^circ + k180^circ ,{rm{ }}k; in ;mathbb{Z},,(TM).)

b, Điều kiện xác định: (2x + frac{pi }{4} ne frac{pi }{2} + kpi Leftrightarrow x ne frac{pi }{8} + kpi ,k in mathbb{Z}.)

Ta có: (tan left( {2x + frac{pi }{4}} right) = 0 Leftrightarrow 2x + frac{pi }{4} = kpi Leftrightarrow x = -frac{pi }{8} + kfrac{pi }{2},k in mathbb{Z},,(TM).)

Bài 4 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

(begin{array}{l}a);cotleft( {frac{1}{2}x + frac{pi }{4}} right) = - 1b);cot3x = - frac{{sqrt 3 }}{3}end{array})

Phương pháp:

Phương trình (cot x = m)có nghiệm với mọi m.

Với mọi (m in mathbb{R}), tồn tại duy nhất (alpha in left( {0;pi } right)) thoả mãn (cot alpha = m). Khi đó:

(cot {rm{x}} = m Leftrightarrow cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb{Z}.)

Lời giải:

Bài 5 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Phương pháp:

Sử dụng công thức (sin x = cosleft( {frac{pi }{2} - x} right)) và giải phương trình côsin

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau tại điểm x thoả mãn

(cosx = sinx Leftrightarrow cosx = cosleft( {frac{pi }{2} - x} right)) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{2} - x + k2pi x = - frac{pi }{2} + x + k2pi end{array} right. Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}.)

Vậy (x = frac{pi }{4} + k2pi ,k in mathbb{Z}.)

Bài 6 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức (s = 10sinleft( {10t + frac{pi }{2}} right).)Vào các thời điểm nào thì (s = - 5sqrt 3 ;)cm?

Phương pháp:

Phương trình sinx = m ,

Khi đó, tồn tại duy nhất (alpha in left[ { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right]) thoả mãn (sin alpha = m),

({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = m Leftrightarrow sin x = sin alpha ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi x = pi - alpha + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

Lời giải:

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ (frac{pi }{{10}})rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ ({y_M}) của điệm M trên trục Oy theo thời gian t

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ ({y_N} = - 1;left( {km} right).)Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Phương pháp:

a, Dựa vào đề bài để viết hàm số biểu thị toạ độ ({y_M}) .

b, Phương trình (tan x = m)có nghiệm với mọi m.

Với mọi (m in mathbb{R}), tồn tại duy nhất (alpha in left( { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)) thoả mãn (tan alpha = m). Khi đó:

(tan {rm{x}} = m Leftrightarrow tan x = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb{Z}.)

Lời giải:

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: (alpha = frac{pi }{{10}}t) rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

(MO = tanalpha .1 = tan left( {frac{pi }{{10}}t} right)).

Vậy tọa độ ({y_M} = tan left( {frac{pi }{{10}}t} right)).

b) Xét (tan left( {frac{pi }{{10}}t} right) = - 1)

(begin{array}{l} Leftrightarrow tan left( {frac{pi }{{10}}t} right) = tan left( { - frac{pi }{4}} right) Leftrightarrow frac{pi }{{10}}t = - frac{pi }{4} + kpi Leftrightarrow t = - frac{5}{2} + 10k,k in mathbb{Z}.end{array})

Vì (t ge 0) nên tại các thời điểm (t = - frac{5}{2} + 10k,k in mathbb{Z},k ge 1) thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Sachbaitap.com

Link nội dung: https://superkids.edu.vn/toan-lop-11-chan-troi-sang-tao-a43085.html