Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm: Điều kiện, khi nào và cách giải

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán THPT và Đại học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học. Phương trình bậc 3 có dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0) và luôn có đúng 3 nghiệm (kể cả nghiệm phức và nghiệm bội), trong đó điều kiện để có 3 nghiệm thực phân biệt là Δ > 0. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải chi tiết.

1. Phương trình bậc 3 là gì?

Trước khi tìm hiểu về phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, cần nắm vững khái niệm cơ bản:

1.1. Định nghĩa

Phương trình bậc 3 (hay phương trình bậc ba) là phương trình có dạng:

[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 quad (a neq 0) ]

Trong đó:

• a, b, c, d: các hệ số thực (hoặc phức)
• a ≠ 0: điều kiện để phương trình là bậc 3
• x: ẩn số cần tìm

1.2. Dạng chính tắc (Dạng rút gọn)

Bằng phép đổi biến ( x = t - frac{b}{3a} ), phương trình bậc 3 được đưa về dạng:

[ t^3 + pt + q = 0 ]

Trong đó:

[ p = frac{3ac - b^2}{3a^2}, quad q = frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} ]

1.3. Định lý cơ bản về nghiệm

Định lý đại số cơ bản: Mọi phương trình đa thức bậc n có đúng n nghiệm (kể cả nghiệm phức và nghiệm bội).

Do đó, phương trình bậc 3 luôn có đúng 3 nghiệm.

1.4. Các trường hợp nghiệm

Trường hợp Mô tả Ví dụ 3 nghiệm thực phân biệt x₁ ≠ x₂ ≠ x₃ ∈ ℝ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 1 nghiệm thực, 2 nghiệm phức liên hợp x₁ ∈ ℝ, x₂ = α + βi, x₃ = α − βi x³ + 1 = 0 3 nghiệm thực (có bội) Có nghiệm kép hoặc bội 3 x³ − 3x + 2 = 0

2. Điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm

Điều kiện quan trọng để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm thực:

2.1. Biệt thức Delta (Δ) của phương trình bậc 3

Cho phương trình: ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 )

Công thức Delta:

[ Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 ]

2.2. Điều kiện nghiệm theo Delta

Điều kiện Số nghiệm thực Mô tả Δ > 0 3 nghiệm thực phân biệt x₁ ≠ x₂ ≠ x₃ Δ = 0 3 nghiệm thực (có bội) Nghiệm kép hoặc bội 3 Δ < 0 1 nghiệm thực 2 nghiệm phức liên hợp

2.3. Delta cho dạng rút gọn

Với phương trình dạng ( t^3 + pt + q = 0 ):

[ Delta = -4p^3 - 27q^2 ]

Hoặc đặt: ( D = frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27} )

Điều kiện Kết quả D < 0 (hay Δ > 0) 3 nghiệm thực phân biệt D = 0 (hay Δ = 0) Nghiệm bội D > 0 (hay Δ < 0) 1 nghiệm thực, 2 nghiệm phức

2.4. Ví dụ kiểm tra điều kiện

Ví dụ: Kiểm tra phương trình x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 có 3 nghiệm thực không?

Lời giải:

a = 1, b = −6, c = 11, d = −6

[ Delta = 18(1)(-6)(11)(-6) - 4(-6)^3(-6) + (-6)^2(11)^2 - 4(1)(11)^3 - 27(1)^2(-6)^2 ]

[ = 7128 - 5184 + 4356 - 5324 - 972 = 4 > 0 ]

Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt ✓

3. Công thức nghiệm phương trình bậc 3 (Công thức Cardano)

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

3.1. Công thức Cardano

Cho phương trình dạng rút gọn: ( t^3 + pt + q = 0 )

Đặt:

[ D = frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27} ]

[ u = sqrt[3]{-frac{q}{2} + sqrt{D}}, quad v = sqrt[3]{-frac{q}{2} - sqrt{D}} ]

Nghiệm của phương trình:

[ t_1 = u + v ]

[ t_2 = -frac{u+v}{2} + frac{(u-v)sqrt{3}}{2}i ]

[ t_3 = -frac{u+v}{2} - frac{(u-v)sqrt{3}}{2}i ]

3.2. Trường hợp D < 0 (3 nghiệm thực)

Khi D < 0, sử dụng công thức lượng giác:

Đặt ( cosphi = frac{-q/2}{sqrt{-p^3/27}} = frac{3q}{2p}sqrt{frac{-3}{p}} ) với p < 0

Ba nghiệm thực:

[ t_k = 2sqrt{frac{-p}{3}}cosleft(frac{phi + 2kpi}{3}right), quad k = 0, 1, 2 ]

3.3. Trường hợp D = 0

Khi D = 0:

• Nếu p = q = 0: Nghiệm bội 3 là t = 0
• Nếu p ≠ 0: Nghiệm đơn ( t_1 = frac{3q}{p} ), nghiệm kép ( t_2 = t_3 = -frac{3q}{2p} )

3.4. Trường hợp D > 0

Khi D > 0: Một nghiệm thực và hai nghiệm phức liên hợp

[ t_1 = u + v = sqrt[3]{-frac{q}{2} + sqrt{D}} + sqrt[3]{-frac{q}{2} - sqrt{D}} ]

3.5. Quay về nghiệm ban đầu

Từ nghiệm t, tìm x bằng:

[ x = t - frac{b}{3a} ]

3.6. Bảng tổng hợp công thức

Đại lượng Công thức p ( frac{3ac - b^2}{3a^2} ) q ( frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} ) D ( frac{q^2}{4} + frac{p^3}{27} ) Đổi biến ( x = t - frac{b}{3a} )

4. Hệ thức Viète cho phương trình bậc 3

Hệ thức quan trọng khi phương trình bậc 3 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃:

4.1. Công thức Viète

Cho phương trình ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃:

[ begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a} x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = frac{c}{a} x_1x_2x_3 = -frac{d}{a} end{cases} ]

4.2. Ký hiệu gọn

Đặt:

• ( S_1 = x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a} )
• ( S_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = frac{c}{a} )
• ( S_3 = x_1x_2x_3 = -frac{d}{a} )

4.3. Công thức Newton (Tổng lũy thừa nghiệm)

Đặt ( P_k = x_1^k + x_2^k + x_3^k )

k Công thức Pₖ 1 ( P_1 = S_1 ) 2 ( P_2 = S_1^2 - 2S_2 ) 3 ( P_3 = S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3 ) n (n ≥ 3) ( P_n = S_1P_{n-1} - S_2P_{n-2} + S_3P_{n-3} )

4.4. Các hệ thức mở rộng

[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S_1^2 - 2S_2 ]

[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3 ]

[ (x_1 - x_2)^2(x_2 - x_3)^2(x_3 - x_1)^2 = -frac{Delta}{a^4} ]

[ frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} = frac{S_2}{S_3} = -frac{c}{d} ]

4.5. Ví dụ áp dụng Viète

Ví dụ: Cho phương trình x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính x₁² + x₂² + x₃².

Lời giải:

Theo Viète: S₁ = 6, S₂ = 11, S₃ = 6

[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S_1^2 - 2S_2 = 36 - 22 = 14 ]

5. Các phương pháp giải phương trình bậc 3

Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

5.1. Phương pháp nhẩm nghiệm

Định lý nghiệm hữu tỉ: Nếu phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 (a, b, c, d ∈ ℤ) có nghiệm hữu tỉ p/q (p/q tối giản) thì p | d và q | a.

Các bước:

1. Liệt kê các ước của d và a
2. Thử các giá trị p/q
3. Khi tìm được nghiệm x₁, chia đa thức cho (x − x₁)
4. Giải phương trình bậc 2 còn lại

Ví dụ: Giải x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Ước của 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Thử x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

Chia: (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6

Giải x² − 5x + 6 = 0 ⟹ x = 2 hoặc x = 3

Nghiệm: x ∈ {1, 2, 3}

5.2. Phương pháp Horner

Sơ đồ Horner để chia đa thức nhanh:

a b c d x₀ ↓ ax₀ (ax₀+b)x₀ … a ax₀+b … dư

Nếu dư = 0 thì x₀ là nghiệm.

5.3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: Phương trình đối xứng: ax³ + bx² + bx + a = 0

Nhóm: a(x³ + 1) + bx(x + 1) = 0

(x + 1)[a(x² − x + 1) + bx] = 0

Dạng 2: Phương trình ax³ + bx² − bx − a = 0

Nhóm: a(x³ − 1) + bx(x − 1) = 0

5.4. Phương pháp Cardano

Áp dụng công thức Cardano (đã trình bày ở mục 3)

5.5. Phương pháp lượng giác

Sử dụng khi Δ > 0 (có 3 nghiệm thực phân biệt)

5.6. So sánh các phương pháp

Phương pháp Ưu điểm Áp dụng khi Nhẩm nghiệm Nhanh, đơn giản Hệ số nguyên, nghiệm đẹp Horner Chia đa thức nhanh Sau khi nhẩm được nghiệm Đặt ẩn phụ Hiệu quả với dạng đặc biệt PT đối xứng, phản đối xứng Cardano Tổng quát Mọi phương trình Lượng giác Nghiệm chính xác 3 nghiệm thực

6. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt

Điều kiện và tính chất của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt:

6.1. Điều kiện có 3 nghiệm thực phân biệt

[ Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 > 0 ]

6.2. Sử dụng đạo hàm

Cho f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Điều kiện có 3 nghiệm phân biệt:

1. f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁ < x₂ (Δ’ > 0)
2. f(x₁) × f(x₂) < 0

6.3. Công thức tính Δ’ của f'(x)

[ Delta’ = 4b^2 - 12ac = 4(b^2 - 3ac) ]

Điều kiện Δ’ > 0: ( b^2 - 3ac > 0 )

6.4. Điểm cực trị

Khi Δ’ > 0, hai điểm cực trị:

[ x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} ]

6.5. Ví dụ

Đề bài: Tìm m để phương trình x³ − 3x² + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Lời giải:

f(x) = x³ − 3x² + m

f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0

⟹ x₁ = 0, x₂ = 2

Điều kiện: f(0) × f(2) < 0

f(0) = m

f(2) = 8 − 12 + m = m − 4

m(m − 4) < 0 ⟺ 0 < m < 4

Kết quả: 0 < m < 4

7. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là cấp số cộng

Dạng đặc biệt của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

7.1. Đặt nghiệm

Nếu 3 nghiệm lập thành cấp số cộng, đặt:

[ x_1 = alpha - d, quad x_2 = alpha, quad x_3 = alpha + d ]

Trong đó α là số hạng giữa, d là công sai.

7.2. Áp dụng Viète

Từ Viète:

[ x_1 + x_2 + x_3 = 3alpha = -frac{b}{a} ]

[ Rightarrow alpha = -frac{b}{3a} ]

Nhận xét quan trọng: Số hạng giữa của CSC luôn bằng ( -frac{b}{3a} )

7.3. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm α = −b/(3a)

Bước 2: Thay x = α vào phương trình, kiểm tra có phải nghiệm không

Bước 3: Chia đa thức cho (x − α), giải phương trình bậc 2

7.4. Ví dụ

Đề bài: Giải phương trình x³ − 9x² + 23x − 15 = 0, biết 3 nghiệm lập thành CSC

Lời giải:

α = 9/3 = 3

Kiểm tra: 27 − 81 + 69 − 15 = 0 ✓

Chia: (x³ − 9x² + 23x − 15) : (x − 3) = x² − 6x + 5

Giải x² − 6x + 5 = 0 ⟹ x = 1 hoặc x = 5

Nghiệm: x ∈ {1, 3, 5} (CSC với d = 2)

8. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là cấp số nhân

Một dạng đặc biệt khác của phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:

8.1. Đặt nghiệm

Nếu 3 nghiệm lập thành cấp số nhân, đặt:

[ x_1 = frac{alpha}{q}, quad x_2 = alpha, quad x_3 = alpha q ]

Trong đó α là số hạng giữa, q là công bội.

8.2. Áp dụng Viète

Từ Viète:

[ x_1 cdot x_2 cdot x_3 = frac{alpha}{q} cdot alpha cdot alpha q = alpha^3 = -frac{d}{a} ]

[ Rightarrow alpha = sqrt[3]{-frac{d}{a}} ]

Nhận xét quan trọng: Số hạng giữa của CSN luôn bằng ( sqrt[3]{-frac{d}{a}} )

8.3. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm α = ∛(−d/a)

Bước 2: Kiểm tra α có phải nghiệm không

Bước 3: Chia đa thức, giải phương trình bậc 2

8.4. Ví dụ

Đề bài: Giải phương trình x³ − 7x² + 7x + 15 = 0, biết 3 nghiệm lập thành CSN

Lời giải:

Tích 3 nghiệm = −15

Thử: (−1) × 3 × 5 = −15 và −1, 3, 5 không lập CSN

Thử: 5 × 3 × (−1) với thứ tự: −1, ?, 5 → không phải CSN

Thử: (−1), 3, (−5) → không phải CSN vì khác dấu

Cách khác: α³ = 15 → α không nguyên

Nhẩm nghiệm: x = −1: −1 − 7 − 7 + 15 = 0 ✓

Chia: x² − 8x + 15 = 0 ⟹ x = 3 hoặc x = 5

Nghiệm: x ∈ {−1, 3, 5}

Kiểm tra CSN: −1, 3, 5 không lập CSN (đề bài sai hoặc không có CSN)

8.5. Ví dụ đúng về CSN

Đề bài: Giải x³ − 14x² + 56x − 64 = 0, biết 3 nghiệm lập CSN

Lời giải:

α³ = 64 → α = 4

Kiểm tra: 64 − 224 + 224 − 64 = 0 ✓

Chia: x² − 10x + 16 = 0 ⟹ x = 2 hoặc x = 8

Nghiệm: x ∈ {2, 4, 8} (CSN với q = 2)

9. Ứng dụng của phương trình bậc 3

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm được ứng dụng rộng rãi:

9.1. Trong Hình học

• Bài toán nhân đôi hình lập phương (∛2)
• Chia góc làm 3 phần bằng nhau
• Tính thể tích, diện tích

9.2. Trong Vật lý

• Phương trình trạng thái khí Van der Waals
• Bài toán dao động
• Quang học

9.3. Trong Kỹ thuật

• Thiết kế cầu, nhà
• Tính toán dòng chảy
• Điều khiển tự động

9.4. Trong Kinh tế

• Mô hình tối ưu hóa
• Phân tích chi phí - lợi nhuận

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về phương trình bậc 3 có 3 nghiệm, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Giải phương trình bằng nhẩm nghiệm

Đề bài: Giải phương trình x³ − 7x + 6 = 0

Lời giải:

Thử x = 1: 1 − 7 + 6 = 0 ✓

Thử x = 2: 8 − 14 + 6 = 0 ✓

Chia: (x³ − 7x + 6) : (x − 1) = x² + x − 6

Giải x² + x − 6 = 0: x = 2 hoặc x = −3

Kết quả: x ∈ {−3, 1, 2}

Bài tập 2: Giải phương trình đối xứng

Đề bài: Giải phương trình 2x³ + 5x² + 5x + 2 = 0

Lời giải:

Nhận thấy: Hệ số đối xứng (2, 5, 5, 2)

Thử x = −1: −2 + 5 − 5 + 2 = 0 ✓

Nhóm: 2(x³ + 1) + 5x(x + 1) = 0

(x + 1)[2(x² − x + 1) + 5x] = 0

(x + 1)(2x² + 3x + 2) = 0

2x² + 3x + 2 = 0: Δ = 9 − 16 = −7 < 0 (vô nghiệm thực)

Kết quả: x = −1 (nghiệm thực duy nhất)

Bài tập 3: Tìm điều kiện có 3 nghiệm phân biệt

Đề bài: Tìm m để phương trình x³ − 3x + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Lời giải:

f(x) = x³ − 3x + m

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 0 ⟹ x = ±1

Điều kiện: f(−1) × f(1) < 0

f(−1) = −1 + 3 + m = m + 2

f(1) = 1 − 3 + m = m − 2

(m + 2)(m − 2) < 0

m² − 4 < 0

−2 < m < 2

Kết quả: −2 < m < 2

Bài tập 4: Áp dụng Viète

Đề bài: Cho phương trình x³ − 5x² + 8x − 4 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính giá trị biểu thức A = x₁³ + x₂³ + x₃³

Lời giải:

Theo Viète:

• S₁ = x₁ + x₂ + x₃ = 5
• S₂ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 8
• S₃ = x₁x₂x₃ = 4

Công thức Newton:

[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3 ]

[ = 125 - 3(5)(8) + 3(4) = 125 - 120 + 12 = 17 ]

Kết quả: A = 17

Bài tập 5: Phương trình có 3 nghiệm lập CSC

Đề bài: Giải phương trình 2x³ − 9x² + 12x − 5 = 0, biết 3 nghiệm lập thành CSC

Lời giải:

Số hạng giữa: α = 9/(3×2) = 3/2

Kiểm tra x = 3/2:

2(27/8) − 9(9/4) + 12(3/2) − 5

= 27/4 − 81/4 + 18 − 5

= −54/4 + 13 = −13.5 + 13 = −0.5 ≠ 0

Vậy 3/2 không phải nghiệm. Nhẩm lại:

x = 1: 2 − 9 + 12 − 5 = 0 ✓

Chia: (2x³ − 9x² + 12x − 5) : (x − 1) = 2x² − 7x + 5

Giải 2x² − 7x + 5 = 0:

x = (7 ± 3)/4 ⟹ x = 5/2 hoặc x = 1

Nghiệm: x = 1 (nghiệm kép), x = 5/2

Bài tập 6: Tính tổng nghịch đảo

Đề bài: Cho phương trình x³ − 4x² + 5x − 2 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính ( frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} )

Lời giải:

[ frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} = frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = frac{S_2}{S_3} ]

Theo Viète: S₂ = 5, S₃ = 2

[ frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} = frac{5}{2} ]

Kết quả: 5/2

Bài tập 7: Giải bằng Cardano

Đề bài: Giải phương trình x³ + 6x − 20 = 0

Lời giải:

Dạng t³ + pt + q = 0 với p = 6, q = −20

[ D = frac{(-20)^2}{4} + frac{6^3}{27} = 100 + 8 = 108 > 0 ]

Vậy phương trình có 1 nghiệm thực.

[ u = sqrt[3]{10 + sqrt{108}} = sqrt[3]{10 + 6sqrt{3}} ]

[ v = sqrt[3]{10 - sqrt{108}} = sqrt[3]{10 - 6sqrt{3}} ]

Nhận xét: ( 10 + 6sqrt{3} = (1 + sqrt{3})^3 ) (kiểm tra: 1 + 3√3 + 9 + 3√3 = 10 + 6√3 ✓)

Tương tự: ( 10 - 6sqrt{3} = (1 - sqrt{3})^3 )

u = 1 + √3, v = 1 − √3

t = u + v = 2

Kết quả: x = 2

Bài tập 8: Lập phương trình biết 3 nghiệm

Đề bài: Lập phương trình bậc 3 có 3 nghiệm là 2, 3, 5

Lời giải:

Phương trình có dạng: (x − 2)(x − 3)(x − 5) = 0

Khai triển:

= (x² − 5x + 6)(x − 5)

= x³ − 5x² − 5x² + 25x + 6x − 30

= x³ − 10x² + 31x − 30

Kết quả: x³ − 10x² + 31x − 30 = 0

Bài tập 9: Tìm m để phương trình có nghiệm kép

Đề bài: Tìm m để phương trình x³ − 3x + m = 0 có nghiệm kép

Lời giải:

Phương trình có nghiệm kép khi Δ = 0

Hay f(x) và f'(x) có nghiệm chung

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⟹ x = ±1

Nghiệm kép xảy ra khi:

• f(1) = 0: 1 − 3 + m = 0 ⟹ m = 2
• f(−1) = 0: −1 + 3 + m = 0 ⟹ m = −2

Kết quả: m = 2 hoặc m = −2

Bài tập 10: Bài toán thực tế

Đề bài: Một hình hộp chữ nhật có tổng diện tích 6 mặt là 94 cm², tổng chiều dài các cạnh là 48 cm, và thể tích là 60 cm³. Tìm kích thước hình hộp.

Lời giải:

Gọi 3 kích thước là a, b, c (cm)

Theo đề bài:

• 4(a + b + c) = 48 ⟹ a + b + c = 12
• 2(ab + bc + ca) = 94 ⟹ ab + bc + ca = 47
• abc = 60

Theo Viète, a, b, c là nghiệm của phương trình:

t³ − 12t² + 47t − 60 = 0

Nhẩm: t = 3: 27 − 108 + 141 − 60 = 0 ✓

t = 4: 64 − 192 + 188 − 60 = 0 ✓

t = 5: 125 − 300 + 235 − 60 = 0 ✓

Kết quả: Kích thước hình hộp: 3 cm, 4 cm, 5 cm

Bài tập 11: Tính tổng bình phương nghịch đảo

Đề bài: Cho phương trình x³ − 3x² + 2x − 1 = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính ( frac{1}{x_1^2} + frac{1}{x_2^2} + frac{1}{x_3^2} )

Lời giải:

Theo Viète: S₁ = 3, S₂ = 2, S₃ = 1

[ frac{1}{x_1^2} + frac{1}{x_2^2} + frac{1}{x_3^2} = frac{(x_2x_3)^2 + (x_1x_3)^2 + (x_1x_2)^2}{(x_1x_2x_3)^2} ]

Tử số = (x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁)² − 2x₁x₂x₃(x₁ + x₂ + x₃)

= S₂² − 2S₃S₁ = 4 − 2(1)(3) = 4 − 6 = −2

Mẫu số = S₃² = 1

[ frac{1}{x_1^2} + frac{1}{x_2^2} + frac{1}{x_3^2} = frac{-2}{1} = -2 ]

Nhận xét: Kết quả âm cho thấy có nghiệm phức (nghiệm phức có bình phương âm khi tính theo công thức đại số)

Kết quả: −2

Bài tập 12: Chứng minh đẳng thức

Đề bài: Cho x³ + px + q = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Chứng minh:

[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q ]

Lời giải:

Theo Viète cho dạng rút gọn:

• S₁ = x₁ + x₂ + x₃ = 0
• S₂ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = p
• S₃ = x₁x₂x₃ = −q

Áp dụng công thức Newton:

[ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3 ]

[ = 0 - 0 + 3(-q) = -3q ]

(đpcm)

11. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về phương trình bậc 3 có 3 nghiệm cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Dạng tổng quát: ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)
• Định lý cơ bản: Phương trình bậc 3 luôn có đúng 3 nghiệm (kể cả nghiệm phức và bội)
• Điều kiện 3 nghiệm thực phân biệt: Δ > 0
• Hệ thức Viète: S₁ = −b/a, S₂ = c/a, S₃ = −d/a
• Công thức Newton: x₁³ + x₂³ + x₃³ = S₁³ − 3S₁S₂ + 3S₃
• 3 nghiệm lập CSC: Số hạng giữa = −b/(3a)
• 3 nghiệm lập CSN: Số hạng giữa = ∛(−d/a)
• Phương pháp giải: Nhẩm nghiệm, Horner, Cardano, lượng giác
• Điều kiện cực trị: f'(x₁) × f'(x₂) < 0

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về phương trình bậc 3 có 3 nghiệm và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!