Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 15.

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằngπ2;7π6;−π6 .

Lời giải:

• Ta có OA,OM=α=π2 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc π2, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA,OM=α=π2 được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=β=7π6=π+π6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc 7π6.

• Ta có (OA,OP) = γ=−π6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc π6.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; 5π3;19π2;−159π4.

Lời giải:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = −22;

sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° ==−22 ;

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = −22;

sin(‒225°) = ‒sin225° = −−22=22;

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = 22;

sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° =22 ;

tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc 5π3:

Ta có: cos5π3=cos2π3+π=−cos2π3=−−12=12;

sin5π3=sin2π3+π=−sin2π3=−32 ;

tan5π3=tan2π3+π=tan2π3=−3 ;

cot5π3=cot2π3+π=cot2π3=−33 .

‒ Các giá trị lượng giác của góc 19π2 :

Ta có: cos19π2=cos9π+π2=cosπ+π2=−cosπ2=0 ;

sin19π2=sin9π+π2=sinπ+π2=−sinπ2=−1 ;

Do cos19π2=0 nên tan19π2 không xác định;

cot19π2=cot9π+π2=cotπ+π2=cotπ2=0 .

‒ Các giá trị lượng giác của góc −159π4 :

Ta có: cos−159π4=cos−40π+π4=cosπ4=22;

sin−159π4=sin−40π+π4=sinπ4=22 ;

tan−159π4=tan−40π+π4=tanπ4=1;

cot−159π4=cot−40π+π4=cotπ4=1 .

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) π3+k2π k∈ℤ;

b) π3+2k+1π  k∈ℤ.

c) kπ (k ∈ ℤ);

d) π2+kπ  k∈ℤ.

Lời giải:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác π3+k2π k∈ℤ:

• cosπ3+k2π =cosπ3=12 ;

• sinπ3+k2π =sinπ3=32;

• tanπ3+k2π =tanπ3=3;

• cotπ3+k2π =cotπ3=33.

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác π3+2k+1π  k∈ℤ:

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

• sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

• tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

• sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

• tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác π2+kπ  k∈ℤ:

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα=154với π2<α<π;

b) cosα=−23 với −π<α<0 ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do π2<α<π nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

1542+cos2α=1

⇒cos2α=1−1542=1−1516=116

⇒cosα=−14 (do cosα < 0).

Ta có: tanα=sinαcosα=154−14=−15 ;

cotα=1tanα=1−15=−1515 .

Vậy cosα=−14 ; tanα=−15 và cotα=−1515.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

sin2α+−232=1

⇒sin2α=1−−232=1−49=59.

⇒sinα=−53 (do sinα < 0).

Ta có: tanα = sinαcosα=−53−23 = 52;

cotα = 1tanα=152=25=255.

Vậy sinα=−53; tanα=52 và cotα=255.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi khi −π2≤α<0, cosα < 0 khi −π<α<−π2.

Mà tanα = 3 > 0, do đó tanα=sinαcosα>0, từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có cotα=1tanα=13.

Áp dụng công thức 1+tan2α=1cos2α, ta có

1+32=1cos2α hay1cos2α=10

=> ⇒cos2α=110 => cosα=−1010 (do cosα < 0).

Áp dụng công thức 1+cot2α=1sin2α , ta có:

1+132=1sin2αhay 1sin2α=109

⇒sin2α=910⇒sinα=−310=−31010 (do sinα < 0).

Vậy sinα=31010; cosα=−1010; cotα=13.

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có tanα=1cotα=1−2=−12.

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên cotα=cosαsinα<0, suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức 1+cot2α=1sin2α, ta có:

1 + (-2)2 = 1sin2α hay 1sin2α = 5

=> sin2α=15 => sinα=15=55 (do sinα > 0).

Ta có: cotα=cosαsinα => cosα=cotα.sinα = −2.55=−255

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Cho α + β = π. Tính:

a) A = sin2α + cos2β;

b) B = (sinα + cosβ)2 + (cosα + sinβ)2.

Lời giải:

Lời giải:

Ta có α + β = π nên sinα = sin(π - α) = sinβ, suy ra sin2α = sin2β.

a) A = sin2α + cos2β = sin2β + cos2β = 1.

b) Ta có α + β = π nên cosα = - cos(π - α) = - cosβ.

Khi đó, B = (sinα + cosβ)2 + (cosα + sinβ)2

= (sinβ + cosβ)2 + (- cosβ + sinβ)2

= (sinβ + cosβ)2 + (sinβ - cosβ )2

= sin2β + 2sinβ cosβ + cos2β + sin2β - 2sinβ cosβ + cos2β

= 2(sin2β + cos2β)

= 2 . 1 = 2.

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: 18 000π2.1=9000π   km.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: 18000π2.3=27000π   km.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: 18000π2.5=45000π   km.

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9000π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là:

200  0009000π≈7 (giờ).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Link nội dung: https://superkids.edu.vn/bai-tap-toan-dai-11-a44132.html