Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có yếu tố biến đổi

Lý thuyết về hàm số tuyến tính và phép biến đổi đồ thị (Function Transformations)

Trong chương trình Digital SAT, việc nắm vững cách diễn giải các mô tả ngôn ngữ thành ký hiệu toán học là chìa khóa để xử lý dạng bài biến đổi đồ thị. Một hàm số tuyến tính (hàm số bậc nhất) có dạng tổng quát là:

Ax + By + C = 0

Tuy nhiên, để quan sát rõ các phép biến đổi, dạng hệ số góc-tung độ gốc (slope-intercept) thường được ưu tiên sử dụng:

y = f(x) = mx + b

Trong đó:

• m: Hệ số góc (độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của y khi x thay đổi

• b: Tung độ gốc, là giá trị của hàm số tại giao điểm với trục tung (x = 0)

Để giúp người đọc có thể tiếp cận với dạng biến đổi đồ thị, bài viết ngày hôm nay cung cấp 3 quy tắc biến đổi đồ thị từ hàm số gốc f(x) sang hàm số mới g(x).

Dịch chuyển đồ thị (Shift)

Đây là phép dời vị trí đồ thị mà không làm thay đổi hình dáng hay độ dốc của đường thẳng. Xét hàm số f(x) = ax + b và g(x) = mx + n (a và m khác 0).

• Dịch chuyển dọc (Vertical shift): g(x) = f(x) + k. Nếu k > 0, đồ thị tịnh tiến lên trên; nếu k < 0, đồ thị tịnh tiến xuống dưới.

• Dịch chuyển ngang (Horizontal shift): g(x) = f(x - h). Nếu h > 0, đồ thị tịnh tiến sang phải; nếu h < 0, đồ thị tịnh tiến sang trái.

Ví dụ:

Giả sử ta có hàm số gốc f(x) = 2x + 1. Hàm số g(x) = 2x - 5 là kết quả của phép dịch chuyển dọc xuống dưới 6 đơn vị từ hàm số f(x). Vì 2x + 1 - 6 = 2x - 5.

Fig. 1. Line 2x +1 and line 2x - 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source: [1])

Biến đổi hình dáng (Stretch/Compression)

Phép biến đổi này làm thay đổi độ dốc của đường thẳng. Với hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = mx + n (a và m khác 0), ta xét các trường hợp biến đổi giãn/nén như sau:

• Giãn/Nén dọc (Vertical stretch/compression): g(x) = a.f(x). Đồ thị sẽ "giãn" (dốc hơn) khi |a| > 1 và "nén" (thoải hơn) khi 0 < |a| < 1.

• Giãn/Nén ngang (Horizontal stretch/compression): g(x) = f(a.x). Đồ thị "nén" khi |a| > 1 và "giãn" khi 0 < |a| < 1.

Ví dụ: Xét hàm số gốc f(x) = x + 2. Hàm số g(x) = 3x + 6 là kết quả của phép giãn đồ thị theo chiều dọc (Vertical stretch) với hệ số a = 3. Vì khi ta thực hiện nhân hệ số vào toàn bộ hàm số: g(x) = 3.f(x). Khi đó: 3(x + 2) = 3x + 6.

Fig 2. Line 2+x and line 3x + 6 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [2])

Phép phản chiếu (Reflection)

Phép này giữ nguyên toàn bộ hình dạng của đồ thị nhưng được đưa về một phiên bản đối xứng theo trục Ox hoặc Oy. Với hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = mx + n (a và m khác 0), ta xét các trường hợp biến đổi phản chiếu như sau:

• Phản chiếu qua trục Ox: g(x) = -f(x) => Phản chiếu theo chiều dọc.

• Phản chiếu qua trục Oy: g(x) = f(-x) => Phản chiếu theo chiều ngang.

Ví dụ: Với hàm số gốc f(x) = 3x + 4, hàm số g(x) = -3x - 4 là kết quả của phép phản chiếu qua trục Ox. Vì khi ta lấy đối dấu toàn bộ hàm số: g(x) = -f(x), thì ta thu được -(3x + 4) = -3x - 4.

Fig 3. Line 3x + 4 and line -3x - 4 on Desmos Graphing Calculator. (Source [3])

Tìm hàm số tuyến tính có yếu tố biến đổi trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm đồ thị hàm số tuyến tính có yếu tố biến đổi là rất đa dạng. Thí sinh có thể được cho về việc di chuyển lên/xuống hay trái/phải của đồ thị, sự kéo giãn của đồ thị, từ đó vận dụng các yếu tố biến đổi để tìm đồ thị.

Sample question

Fig 4. f(x) = x + 1 and g(x) after transformation. (Source: [4])

In the xy-coordinate plane, the solid red line represents the graph of the function f(x) = x + 1. The dashed blue line g(x) is obtained after applying a sequence of transformations to f(x). Based on the graph, determine the equation of the function g(x).

A. g(x) = 2f(x) - 3

B. g(x) = 2f(x) - 6

C. g(x) = ½ f(x) + 2

D. g(x) = f(2x) + 1

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 5. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [5])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 6. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số từ đồ thị biến đổi

Để tìm hàm số khi đề bài cung cấp trước sự biến đổi, người học có thể sử dụng tính năng vẽ đồ thị kết hợp với thanh trượt (slider):

Bước 1: Nhận diện đồ thị tham chiếu. Nhập hàm số gốc f(x) vào dòng đầu tiên để xác định các điểm đặc biệt như tung độ gốc và hoành độ gốc.

Bước 2: Nhập cấu trúc biến đổi. Tại dòng thứ hai, nhập biểu thức tổng quát dựa trên quan sát hình ảnh (ví dụ: y = f(x - h) + k nếu đồ thị dịch chuyển).

Bước 3: Kích hoạt Slider. Bấm nút “Add slider” cho các tham số như a, h, k để DESMOS xuất hiện các thanh điều khiển giá trị.

Bước 4: Khớp đồ thị. Kéo thanh trượt để điều chỉnh đường thẳng trên màn hình cho đến khi trùng khít hoàn toàn với đồ thị biến đổi trong đề bài.

Bước 5: Xác định phương trình. Ghi nhận giá trị tham số trên slider để hoàn thiện phương trình hàm số cần tìm.

Bước 6: Đối chiếu đáp án. Nhập lần lượt các phương án A, B, C, D vào DESMOS; lựa chọn nào có đồ thị chồng khít lên đường thẳng vừa tìm được là đáp án chính xác.

Ví dụ minh họa:

Fig 4. f(x) = x + 1 and g(x) after transformation. (Source: [4])

In the xy-coordinate plane, the solid red line represents the graph of the function f(x) = x + 1. The dashed blue line g(x) is obtained after applying a sequence of transformations to f(x). Based on the graph, determine the equation of the function g(x).

A. g(x) = 2f(x) - 3

B. g(x) = 2f(x) - 6

C. g(x) = ½ f(x) + 2

D. g(x) = f(2x) + 1

Bước 1: Nhập hàm số gốc và quan sát đồ thị đề bài

Đầu tiên, người học nhập hàm số gốc vào dòng thứ nhất của DESMOS: f(x) = x + 1. Quan sát hình vẽ, ta nhận thấy đồ thị g(x) có độ dốc lớn hơn f(x) (biến đổi hệ số a) và vị trí bị dịch chuyển xuống dưới (biến đổi hằng số k).

Fig 7. Line y=x+1 on Desmos Graphing Calculator. (Source [7])

Bước 2 và 3: Thiết lập cấu trúc biến đổi với Slider

Tại dòng thứ hai, người học nhập biểu thức tổng quát dựa trên dự đoán về phép giãn dọc và tịnh tiến dọc: g(x) = a.f(x) + k. Sau đó, nhấn “Add slider: a, k” để DESMOS hiển thị các thanh điều khiển.

Fig 8. Using slider to examine the value of a and k on the Desmos Graphing Calculator. (Source [8])

Bước 4: Thao tác Slider để khớp đồ thị

Người học tiến hành kéo thanh trượt a và k.

Thử tăng a lên 2 để đồ thị dốc hơn, giống với độ nghiêng của đường xanh đứt nét.Kéo thanh trượt k xuống các giá trị âm để dịch chuyển đồ thị xuống dưới.

Khi a = 2 và k = -3, ta thấy đường thẳng trên DESMOS trùng khít hoàn toàn với đồ thị g(x) của đề bài.

Fig 9. Change the value of a using the Desmos slider. (Source [9])

Bước 5 và 6: Xác định phương trình và đối chiếu đáp án

Với a = 2 và k = -3, hàm số tìm được là: g(x) = 2f(x) - 3.

⇒ Chọn đáp án A

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính, biết một điểm và hệ số góc

• Sử dụng DESMOS để thực hiện các tính toán về toạ độ trong bài thi SAT

• Sử dụng DESMOS để tìm phương trình tuyến tính qua toạ độ hai điểm

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có yếu tố biến đổi. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: The function f(x) = 2x + 3 is graphed in the xy-plane. Which equation represents the graph of f(x) shifted up 4 units?

A. y = 2x + 7B. y = 2x - 1C. y = 6x + 3D. y = 2(x + 4)

Answer: A

Question 2: A line has the equation f(x) = x. This line is shifted right 5 units to produce line g(x). What is the equation of line g(x)?

A. g(x) = x + 5B. g(x) = x - 5C. g(x) = 5xD. g(x) = -x + 5

Answer: B

Question 3:

Fig 10. f(x) and g(x) graph in the xy-plane. (Source: [10])

The graph of y = f(x) is shown in the xy-plane as a straight line with a positive slope. If g(x) = -f(x), which transformation describes the relationship between f and g?

A. A reflection across the y-axis B. A reflection across the x-axis C. A vertical shift down 1 unit D. A horizontal stretch

Answer: B

Question 4: The function f(x) = -3x + 2 is shifted down 2 units to create function h(x). What is the y-intercept of h(x)?

A. (0, 2)B. (0, -2)C. (0, 0)D. (0, 4)

Answer: C

Question 5: Which of the following transformations will move the graph of f(x) = 4x - 1 to the left 3 units?

A. f(x) + 3B. f(x) - 3C. f(x - 3)D. f(x + 3)

Answer: D

Question 6: The graph of g(x) is obtained by vertically stretching f(x) =½ x + 2 by a factor of 2. Which of the following is the equation for g(x)?

A. g(x) = x + 2B. g(x) = x + 4C. g(x) =¼ x + 2D. g(x) = ½ x + 4

Answer: B

Question 7: A line has the equation g(x) = 2x + 10. This line was obtained by shifting the graph of the function f(x) up 4 units and to the right 3 units. Which equation represents f(x)?

A. f(x) = 2x + 12B. f(x) = 2x + 3C. f(x) = 2x + 15D. f(x) = 2x + 9

Answer: A

Question 8: The linear function f(x) is graphed in the xy-plane. If g(x) = f(-x) - 2, which sequence of transformations was applied to f?

A. Reflection across the x-axis and shift down 2 B. Reflection across the y-axis and shift down 2 C. Reflection across the y-axis and shift left 2 D. Vertical stretch and shift up 2

Answer: B

Question 9: The graph of y = 3x - 5 is reflected across the x-axis and then shifted up 3 units. What is the equation of the resulting graph?

A. y = 3x - 2B. y = -3x + 2C. y = -3x - 2D. y = -3x + 8

Answer: D

Question 10: A function f(x) = 2x + 4 is transformed to g(x) by reflecting it across the x-axis and then doubling its slope magnitude. What is the new equation if it is also shifted down 1 unit?

A. g(x) = -4x - 5B. g(x) = -4x - 3C. g(x) = -2x + 3D. g(x) = -4x + 3

Answer: A