Sử dụng DESMOS để rút gọn biểu thức hữu tỉ trong câu hỏi SAT Math

Lý thuyết chung về biểu thức hữu tỉ

Biểu thức hữu tỉ là một phân thức của hai đa thức. Biểu thức hữu tỉ có dạng tổng quát là:

A/B

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B bắt buộc phải khác 0 nếu có chứa biến.

Do B ≠ 0, nên tập xác định của biểu thức hữu tỉ là {x ∈ R | B ≠ 0}. Việc tìm miền xác định là bước đầu tiên khi tiến hành thao tác trên biểu thức hữu tỉ.

Biểu thức hữu tỉ có bốn phép tính cơ bản.

Đối với phép tính cộng và trừ, người học cần quy đồng mẫu số và thực hiện các phép toán nhân đa thức để ra được một biểu thức hữu tỉ gọn hơn.

(frac{P}{Q}pmfrac{R}{S}=frac{(PSpm RQ)}{QS})

Ví dụ: (frac{2}{x}+frac{3}{x+1}=frac{2left(x+1right)+3x}{xleft(x+1right)}=frac{5x+2}{xleft(x+1right)})

Đối với phép nhân, người học nhân lần lượt tử số và mẫu số.

(frac{P}{Q}cdotfrac{R}{S}=frac{PR}{QS})

Ví dụ: (frac{x^2-1}{x}cdotfrac{x}{x+1}=frac{left(x^2-1right)x}{xleft(x+1right)}=frac{left(x-1right)left(x+1right)x}{xleft(x+1right)}=x-1)

Đối với phép chia, người học nhân nghịch đảo tử số và mẫu số.

[frac{P}{Q}divfrac{R}{S}=frac{P}{Q}cdotfrac{S}{R}=frac{PS}{QR}]

Ví dụ: (frac{x^2-4}{x}divfrac{x-2}{x+1}=frac{x^2-4}{x}cdotfrac{x+1}{x-2}=frac{left(x^2-4right)left(x+1right)}{xleft(x-2right)}=frac{left(x-2right)left(x+2right)left(x+1right)}{xleft(x-2right)}=frac{left(x+2right)left(x+1right)}{x})

Lý thuyết về rút gọn biểu thức hữu tỉ

Rút gọn biểu thức hữu tỉ là biến đổi biểu thức hữu tỉ về dạng đơn giản và gọn nhất sao cho tử số và mẫu số không còn nhân tử chung và biểu thức đạt dạng tối giản nhất.

Nếu tử số và mẫu số có một nhân tử chung khác 0, ta có thể rút gọn theo quy tắc:

(frac{AB}{AC}=frac{B}{C}), với A ≠ 0

Quy trình rút gọn biểu thức hữu tỉ gồm các quy trình

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định bằng cách loại các giá trị khiến mẫu bằng 0.

• Bước 2: Ta sử dụng các quy tắc về phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, và thêm bớt để đặt nhân tử chung.

• Bước 3: Ta khử các nhân tử chung giữa tử và mẫu.

• Bước 4: Viết biểu thức đã rút gọn về dạng tối giản

Các quy trình trên có thể được lặp đi lặp lại cho đến khi ta tìm ra được dạng tối giản nhất của biểu thức hữu tỉ.

Ví dụ: Xét biểu thức (frac{x^2-4}{x^2-x-2})

Bước 1: Điều kiện xác định là mẫu khác 0 → x² - x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2 và x ≠ -1

Bước 2: Ta sử dụng các quy tắc phân tích đa thức thành nhân tử:

• Tử: x² - 4 là hằng đẳng thức → x² - 4 = (x-2)(x+2)

• Mẫu: x² - x - 2 = x² - 2x + x - 2 = x(x-2) + (x-2) = (x-2)(x+1)

Bước 3: Ta khử các nhân tử chung của tử và mẫu là (x-2)

Bước 4: Ta viết lại biểu thức: (x+2)(x+1).

Rút gọn biểu thức hữu tỉ trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về rút gọn biểu thức hữu tỉ là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc phân tích đa thức thành nhân tử, xác định điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn phân thức về dạng tối giản, và nhận diện các phép biến đổi tương đương và tránh các sai lầm đại số thường gặp.

Sample question 1

A = x³ - 4x

B = x² - x - 6

Which of the following expressions is equivalent to A/B, for x>3?

A) x(x-2)/(x-3)

B) x(x+2)/(x-3)

C) (x-2)/(x-3)

D)x/(x-3)

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Tổng hợp các câu hỏi trong phần thi SAT Math thường gặp - Phần 1

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để rút gọn biểu thức hữu tỉ

Để dùng DESMOS rút gọn biểu thức hữu tỉ, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị và quan sát tọa độ điểm.

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người đọc đọc kĩ thông tin được đề bài cung cấp và xác định yêu cầu của bài toán.

Bước 2: Người học nhập lần lượt các biểu thức hữu tỉ vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Phần mềm DESMOS sẽ vẽ đồ thị.

Bước 3: Người học quan sát đồ thị và xác định tọa độ giao điểm với trục hoành. Các giao điểm này là nghiệm của tử. Sau đó, người học đối chiếu với các đáp án để tìm nghiệm của tử, nếu kết quả đồng nhất thì đó chính là đáp án.

Ví dụ minh họa:

A = x³ - 4x

B = x² - x - 6

Which of the following expression is equivalent to A/B, for x > 3?

A) x(x-2)/(x-3)

B) x(x+2)/(x-3)

C) (x-2)/(x-3)

D)x/(x-3)

Bước 1: Đọc kĩ đề và xác định yêu cầu bài toán

• A = x³ - 4x

• B = x² - x - 6

• A/B

Bước 2: Nhập các biểu thức vào ô nhập dữ liệu

Fig. 3. Functions x³ - 4x, x² -x - 6, and x³-4x/x²-x-6 on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Bước 3: Ta xác định các giao điểm với trục hoành

Fig. 4. X-intercepts of x³-4x/x²-x-6 on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Dựa vào đồ thị, giao điểm với trục hoành lần lượt là 0 và 2 → Tử có dạng x(x-2)

Vậy đáp án A là đúng.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Operations with rational expressions trong SAT® Math

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để rút gọn biểu thức hữu tỉ [4]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

A technician uses the formula R = 6x / (x + 2) to model the rate (in units per hour) of a machine, where x > 0. Which expression is equivalent to the rate when it is increased by 3 / (x + 2)?

A. (6x + 3) / (x + 2)

B. (6x + 3x) / (x + 2)

C. (9x + 6) / (x + 2)

D. 9x / (x+2)

Answer: A

Question 2:

The expression (x² - 5x - 14) / (x² - 4) represents a simplified model of a system. Which of the following is an equivalent expression?

A. (x + 7) / (x - 2)

B. (x - 7) / (x - 2)

C. (x + 2) / (x - 2)

D. (x - 2) / (x - 2)

Answer: B

Question 3:

A scientist models a ratio using 2/x + 5/(x + 3). Which expression is equivalent?

A. (7x + 6) / [x(x + 3)]

B. (7x + 15) / [x(x + 3)]

C. 10 / [x(x + 3)]

D. 7 / [x(x + 3)]

Answer: A

Question 4:

An expression (x^2 - 9) / (x^2 + x - 6) is given for all values where the expression is defined. Which of the following is equivalent to the given expression?

A. 3 / (x - 2)

B. (x - 3) / (x - 2)

C. (x + 3) / (x - 2)

D. 2 / (x-2)

Answer: B

Question 5:

A quantity is modeled by (x^2 + 6x + 9) / (x^2 - 9). Which expression is equivalent?

A. 1 / (x- 3)

B. (x + 3) / (x - 3)

C. 3 / (x - 3)

D. (x - 3) / (x - 3)

Answer: B

Question 6:

A system output is given by 1/(x + 1) - 1/(x - 1). Which expression is equivalent?

A. -2 / (x^2 - 1)

B. 2 / (x^2 - 1)

C. -2x / (x^2 - 1)

D. 2x / (x^2 - 1)

Answer: A

Question 7:

A model simplifies the expression [(x^2 + 4x + 3) / (x^2 + 3x + 2)] / [(x + 3) / (x + 1)]. Which of the following is equivalent?

A. (x + 1) / (x + 2)

B. (x + 3) / (x + 2)

C. 1 / (x + 3)

D. (x + 2) / (x + 1)

Answer: A

Question 8:

A researcher rewrites (9x^2 - 1) / (3x^2 + x) in simplified form. Which expression is equivalent?

A. (9x - 1) / 3x

B. (3x - 1) / x

C. (3x + 1) / x

D. (3x - 1) / 3x

Answer: B

Question 9:

A formula includes the expression [(x^2 - 16) / (x^2 - 4x)] * [x / (x + 4)]. Which of the following is equivalent?

A. 1

B. (x + 4)/(x - 4)

C. 4/(x - 4)

D. x/(x - 4)

Answer: A

Question 10:

A value is calculated using [4/(x - 2)] + [1/(x + 2)]. Which expression is equivalent?

A. 5x / (x^2 - 4)

B. (5x - 6) / (x^2 - 4)

C. (5x + 6) / (x^2 - 4)

D. 5 / (x^2 - 4)

Answer: C