Bài 11 trang 82 Toán 9 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 9 - Chân trời sáng tạo

Bài 11 trang 82 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn (O') đường kính HC.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').

b) Đường tròn (O) cắt AB tại E, đường tròn (O') cắt AC tại F. Chứng minh rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến đường tròn (O) và đồng thời là tiếp tuyến đường tròn (O').

d) Đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N. Cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ANF.

Lời giải:

a) Đường tròn (O) có bán kính OH, đường tròn (O') có bán kính O'H.

Vì OO' = OH + HO' nên (O) và (O') tiếp xúc ngoài.

b) Ta có BEH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra HE ⊥ AB hay HEA^=90°.

Tương tại, CFH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O')).

Suy ra HF ⊥ AC hay HFA^=90°.

Tứ giác AEHF có EAF^=90°,  HEA^=90°,    HFA^=90°.

Do đó, tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) Gọi I là giao điểm AH và EF, ta có

IA = IE = IH = IF (tính chất hình chữ nhật).

• Xét ∆IEO và ∆IHO có: OI là cạnh chung; IE = IH; OE = OH.

Do đó ∆IEO = ∆IHO (c.c.c)

Suy ra OEI^=OHI^=90° (hai góc tương ứng).

Vì OEF^=90° và E thuộc đường tròn (O) nên EF là tiếp tuyến của (O). (1)

• Xét ∆IFO' và ∆IHO' có: O'I là cạnh chung; IF = IH; O'F = O'H.

Do đó ∆IFO' = ∆IHO' (c.c.c).

Suy ra O'FI^=O'HI^=90° (hai góc tương ứng).

Vì O'EF^=90° và E thuộc đường tròn (O) nên EF là tiếp tuyến của (O). (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF là tiếp tuyến của (O) và đồng thời là tiếp tuyến của (O').

d) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra AM = BM = CM = 12BC.

Do đó ∆O'FC cân tại O' (vì O'F = O'C) suy ra O'FC^=O'CF^.

Từ (3) và (4) suy ra MAC^=O'FC^.

Mà MAC^,  O'FC^ là hai góc đồng vị nên AM // O'F).

Mặt khác O'F ⊥ EF, suy ra AM ⊥ EF tại N.

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2.

Suy ra BC=AB2+AC2=62+82=10  (cm).

Diện tích tam giác ABC là:

SABC=12AH⋅BC=12AB⋅AC.

Suy ra AH=AB⋅ACBC=6⋅810=4,8  (cm).

Do đó EF = AH = 4,8 cm.

• Vì ∆AHF ᔕ ∆ACH (g.g) nên AHAC=AFAH.

Suy ra AF=AH2AC=4,82AC=2,88  (cm).

• Vì ∆AEF ᔕ ∆NAF (g.g) nên AFNF=EFAF.

Suy ra AF=AF2EF=2,8824,8=1,728  (cm).

Xét tam giác AFN vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AF2 = AN2 + NF2.

Suy ra AN=AF2−NF2=2,882−1,7282=2,304  (cm).

Diện tích tam giác AFN là:

SAFN=12AN⋅NF=12⋅2,304⋅1,728≈2  cm2.

Vậy diện tích tam giác ANF khoảng 2 cm2.

Lời giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Loạt bài Giải sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Chân trời sáng tạo (NXB Giáo dục).

Link nội dung: https://superkids.edu.vn/sgk-toan-9-tap-2-pdf-a45767.html