Giá trị tuyệt đối l Công thức, tính chất và bài tập có lời giải

Giá trị tuyệt đối là gì?

Khi biểu diễn một số thực a bất kỳ trên trục số, khoảng cách hình học tính từ điểm biểu diễn số a đó đến gốc O được gọi là giá trị tuyệt đối của số thực a (hay còn gọi tắt là trị tuyệt đối của a) [1]. Trên trục số thực, gốc tọa độ được quy ước là điểm O tương ứng với số 0. Do khoảng cách giữa hai điểm trên một đường thẳng không bao giờ nhận giá trị âm, trị tuyệt đối luôn luôn là một số lớn hơn hoặc bằng 0.

Trục số thực: Là một đường thẳng nằm ngang biểu diễn tất cả các số thực với chiều tăng dần từ trái qua phải. Mỗi 1 số thực sẽ tương ứng với 1 điểm nằm trên trục số, và mỗi 1 điểm nằm trên trục số sẽ cho 1 số thực tương ứng [1].

Ký hiệu và dấu giá trị tuyệt đối

Các nhà toán học quy ước sử dụng hai vạch đứng song song bao bọc lấy số thực a để làm ký hiệu của giá trị tuyệt đối. Cụ thể, giá trị tuyệt đối của số a được ký hiệu là |a|. Hai vạch đứng song song này gọi là dấu ngoặc đứng hoặc dấu trị tuyệt đối.

Ví dụ minh họa ký hiệu:

• Biểu diễn khoảng cách của số nguyên x: viết là (|x|).

• Biểu diễn khoảng cách của một biểu thức đại số ((2x - 5)): viết là (|2x - 5|).

• Biểu diễn khoảng cách của số hữu tỉ âm(-frac34): viết là (leftvert-frac34rightvert).

Ví dụ trên trục số

Ví dụ:

1. Xét số dương 5. Trên trục số thực, điểm biểu diễn số 5 nằm ở phía bên phải gốc O và cách gốc O một khoảng đúng bằng 5 đơn vị độ dài. Do đó, thu được kết quả (|5| = 5).

2. Xét số âm -5. Điểm biểu diễn số -5 nằm ở phía bên trái gốc O và cũng cách gốc O một khoảng đúng bằng 5 đơn vị độ dài. Do đó, thu được kết quả (|-5| = 5.)

3. Xét số 0. Điểm biểu diễn số 0 trùng hoàn toàn với gốc O, khoảng cách từ điểm 0 đến gốc O bằng 0 đơn vị. Do đó, thu được kết quả (|0| = 0).

4. Xét số thập phân -2,75. Khoảng cách từ điểm -2,75 đến gốc O bằng 2,75 đơn vị độ dài, suy ra (|-2,75| = 2,75).

Cách xác định giá trị tuyệt đối của một số thực

• Đối với số không âm (số dương hoặc số 0, tức a ≥ 0): Giá trị thu được bằng chính số đó. Nghĩa là nếu a ≥ 0 thì |a| = a.

• Đối với số âm (tức a < 0): Giá trị thu được bằng số đối của số đó. Nghĩa là nếu a < 0 thì |a| = -a. Cần lưu ý rằng khi a là số âm thì số đối -a sẽ mang dấu dương.

Công thức trị tuyệt đối và cách phá dấu giá trị tuyệt đối

Với số thực x, giá trị tuyệt đối của x được xác định theo công thức:

[|x|=begin{cases}x, & xge0 -x, & x<0end{cases}]

Bảng dưới đây tổng hợp quy tắc chuyển đổi từ biểu thức chứa dấu ngoặc đứng sang biểu thức đại số thông thường theo từng trường hợp cụ thể của biến số a:

Quy tắc trên là nền tảng cốt lõi để thực hiện các bài toán biến đổi biểu thức và giải phương trình trong chương trình môn Toán lớp 7.

Tính chất của giá trị tuyệt đối

Các tính chất dưới đây là những công cụ đắc lực trong việc đơn giản hóa các bước tính toán có dấu trị tuyệt đối, cũng như áp dụng trong chứng minh bất đẳng thức toán học.

Tính chất không âm

Vì khoảng cách không thể nhận giá trị âm, với mọi số thực a luôn có |a| ≥ 0. Đẳng thức |a| = 0 xảy ra khi và chỉ khi a = 0. Tính chất này thường được áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức hoặc chứng minh một phương trình vô nghiệm.

Tính chất của hai số đối nhau và hai số bằng nhau

Bên cạnh việc 2 số bằng nhau thì hiển nhiên có trị tuyệt đối giống nhau, hai số đối nhau luôn nằm về hai phía của gốc O và có cùng khoảng cách đến gốc O nên |a| = |-a| với mọi số thực a, tức là 2 số đối nhau cũng có trị tuyệt đối bằng nhau. Ví dụ:(|12| = |-12| = 12). Hệ quả: Nếu có đẳng thức (|x| = |y|) thì hai số x và y phải bằng nhau hoặc đối nhau, nghĩa là (x = y) hoặc (x = -y).

Bất đẳng thức liên hệ giữa một số thực và trị tuyệt đối của nó

Vì |a| bằng a hoặc -a nên ngược lại, a bằng -|a| (nếu (a<0)) hoặc bằng |a| (nếu (age0)). Do đó (-left|aright|le aleleft|aright|). Bất đẳng thức tưởng chừng như hiển nhiên này lại rất hữu ích trong những bài toán giải phương trình/bất phương trình toán học hoặc chứng minh bất đẳng thức có chứa dấu trị tuyệt đối.

Tính chất của phép nhân và phép chia chứa dấu trị tuyệt đối

• Trị tuyệt đối của tích bằng tích các trị tuyệt đối: |a . b| = |a| . |b|

• Trị tuyệt đối của thương bằng thương của các trị tuyệt đối tương ứng: (left|frac{a}{b}right|=frac{left|aright|}{left|bright|})(với điều kiện mẫu số b ≠ 0).

Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối thường gặp

Hai bất đẳng thức sau được dùng trong các bài toán sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình hoặc chứng minh:

• Với hai số thực a và b bất kỳ, bất đẳng thức sau luôn đúng: (|a|+|b|geleft|a+bright|). Dấu bằng xảy ra khi a và b cùng dấu (tức (acdot bge0)).

• Từ bất đẳng thức trên có thể suy ra hệ quả: (|a-b|+|b|geleft|a-b+bright|=left|aright|), tức là (|a-b|geleft|aright|-left|bright|). Dấu bằng xảy ra khi (left(a-bright)cdot bge0)

Các dạng bài tập về giá trị tuyệt đối và phương pháp giải

Dưới đây là tổng hợp đầy đủ các dạng bài tập liên quan tới giá trị tuyệt đối từ kiến thức cơ bản Toán 7 đến các dạng vận dụng và mở rộng thường gặp, kèm theo đó là phương pháp giải chi tiết và bài tập mẫu có lời giải hoàn chỉnh.

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức chứa số thực cho trước

Phương pháp giải:

• Bước 1: Áp dụng quy tắc bỏ dấu trị tuyệt đối cho từng số thực xuất hiện trong biểu thức.

• Bước 2: Thực hiện phép tính đại số sau theo thứ tự ưu tiên giảm dần: phép tính trong ngoặc tròn, nâng lên lũy thừa, nhân chia, cộng trừ.

Bài tập minh họa:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức (A = |-4,2| + |1,8| - |-2,5|).

Lời giải:

Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc đứng:

• (|-4,2| = 4,2).

• (|1,8| = 1,8).

• (|-2,5| = 2,5).

Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức A, thu được:

[A = 4,2 + 1,8 - 2,5 = 6,0 - 2,5 = 3,5.]

Vậy A = 3,5.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức (B=3cdot|-frac23|-4cdotleft|frac12-frac56right|).

Lời giải:

Trước tiên, tính giá trị biểu thức trong dấu trị tuyệt đối thứ hai: [frac12-frac56=frac36-frac56=-frac26=-frac13]

Bỏ dấu ngoặc đứng cho các số thực:

• (left|-frac23right|=frac23).

• (left|-frac13right|=frac13).

Thay vào biểu thức B:[B=3cdotfrac23-4cdotfrac13=2-frac43=frac23]

Vậy (B=frac23).

Bài 3: Tính giá trị biểu thức (C=left|5cdotfrac23-leftvertfrac12-frac47rightvertright|).

Lời giải:

Tính biểu thức trong dấu trị tuyệt đối nhỏ: [frac12-frac47=frac{7}{14}-frac{8}{14}=-frac{1}{14}<0]Do đó (leftvertfrac12-frac47rightvert=frac{1}{14}).

Thay vào biểu thức C:[C=left|5cdotfrac23-leftvertfrac12-frac47rightvertright|=left|frac{10}{3}-frac{1}{14}right|=left|frac{140}{42}-frac{3}{42}right|=left|frac{137}{42}right|=frac{137}{42}]

Vậy (C=frac{137}{42}).

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa ẩn số trong dấu ngoặc đứng

Phương pháp giải:

• Bước 1: Căn cứ vào điều kiện của ẩn số do đề bài cung cấp, xét xem biểu thức nằm bên trong dấu trị tuyệt đối mang dấu dương, dấu âm hay bằng 0.

• Bước 2: Phá dấu ngoặc đứng theo quy tắc: nếu biểu thức không âm thì giữ nguyên; nếu biểu thức âm thì đổi dấu tất cả các số hạng bên trong.

• Bước 3: Thực hiện rút gọn các hạng tử để ra kết quả.

Bài tập minh họa:

Bài 1: Cho biểu thức P = (|x - 3| + 2x - 5). Hãy rút gọn P trong trường hợp (x ≥ 3).

Lời giải:

Vì (x ≥ 3) nên (x - 3 ≥ 0). Biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối mang giá trị không âm.

Do đó: (|x - 3| = x - 3).

Thay vào P, nhận được kết quả:

[P = (x - 3) + 2x - 5 = x + 2x - 3 - 5 = 3x - 8]

Vậy với (x ≥ 3) thì (P = 3x - 8).

Bài 2: Rút gọn biểu thức (Q = |3 - x| - (2x + 1)) với (xinleftlbrack7;15rightrbrack).

Lời giải:

Vì (xinleftlbrack7;15rightrbrack) nên (3 - x < 0). Biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối nhận giá trị âm.

Do đó: (Q = |3 - x| - (2x + 1)).

Thay vào Q, nhận được kết quả:[Q=(x-3)-(2x+1)=x-3-2x-1=-x-4]

Vậy với (xinleftlbrack7;15rightrbrack) thì (Q = -x - 4).

Bài 3: Rút gọn biểu thức M = 2x + |x + 1| - 3.

Lời giải:

Do đề bài không cho điều kiện của x nên cần phải chia ra 2 trường hợp:

• Với (x < -1) thì (x + 1 < 0). Do đó:(|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1). Thay vào M thì được: [M = 2x + (-x - 1) - 3 = 2x - x - 1 - 3 = x - 4]

• Với (xge-1) thì (x+1ge0). Do đó:(|x+1|=x+1). Thay vào M thì được: [M=2x+(x+1)-3=3x-2]

Vậy với (x < -1) thì (M=x-4), với (xge-1) thì (M=3x-2).

Dạng 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

Đưa bài toán về dạng cơ bản sao cho 1 vế chỉ có biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối: (|f(x)| = k) (với k là một số thực cho trước) hoặc (|f(x)|=gleft(xright)).

• Trường hợp k < 0: Phương trình không có nghiệm vì vế trái luôn không âm còn vế phải âm. Kết luận không tìm được x thỏa mãn.

• Trường hợp k = 0: Phương trình tương đương với f(x) = 0. Giải phương trình tìm x.

• Trường hợp k > 0: Phương trình tách thành hai trường hợp độc lập: f(x) = k hoặc f(x) = -k. Giải từng trường hợp rồi tổng hợp tập nghiệm.

• Với trường hợp (|f(x)|=gleft(xright)), cần giải 2 trường hợp độc lập: (fleft(xright)=gleft(xright)) và (fleft(xright)=-gleft(xright)), sau đó đối chiếu lại nghiệm vừa tìm được với điều kiện để bỏ đi dấu trị tuyệt đối.

Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm số thực x biết (|2x - 1| = 7).

Lời giải:

Vì (7 > 0), phương trình chia làm hai trường hợp độc lập:

• Trường hợp 1: (2x-1=7to2x=8to x=4).

• Trường hợp 2: (2x-1=-7to2x=-6to x=-3).

Vậy x ∈ {4; -3}.

Bài 2: Giải phương trình: (2cdot|x+3|-5=9).

Lời giải:

Biến đổi và thu gọn phương trình:[2cdot|x+3|=9+5][2cdot|x+3|=14][|x + 3| = 7]

Tiếp tục xét 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: (x+3=7to x=4).

• Trường hợp 2: (x+3=-7to x=-10).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {4; -10}.

Bài 3: Giải phương trình: (|5x + 4| =x+8).

Lời giải:

Xét 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: nếu (5x+4ge0) hay (xge-frac45) , phương trình trở thành

  [5x+4=x+8to4x=4to x=1]

(thỏa mãn điều kiện (xge-frac45))

• Trường hợp 2: nếu (5x+4<0) hay (x<-frac45), phương trình trở thành [5x+4=-x-8to6x=-12to x=-2]

(thỏa mãn điều kiện (x<-frac45))

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1; -2}

Bài 4: Giải phương trình (left|5xright|=x^2-6).

Lời giải:

Xét 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: Nếu (xge0) thì (left|5xright|=5x). Do đó phương trình trở thành:[5x=x^2-6][x^2-5x-6=0][x^2-6x+x-6=0][xleft(x-6right)+1cdotleft(x-6right)=0][left(x+1_{}right)left(x-6right)=0]

Do đó (x+1=0to x=-1) hoặc (x-6=0to x=6). Tuy nhiên khi kiểm tra lại, thấy rằng bài giải đang xét trường hợp (xge0) để có thể phá dấu trị tuyệt đối nên cần loại bỏ nghiệm (x=-1) là nghiệm không thỏa mãn. Vậy với trường hợp 1 chỉ thu được nghiệm (x=6).

• Trường hợp 2: Nếu (x<0) thì (left|5xright|=-5x). Do đó phương trình trở thành:

  [-5x=x^2-6][x^2+5x-6=0][x^2+6x-x-6=0][xleft(x+6right)-1cdotleft(x+6right)=0][left(x-1right)left(x+6right)=0]

Do đó (x-1=0to x=1) hoặc (x+6=0to x=-6). Tuy nhiên khi kiểm tra lại, thấy rằng bài giải đang xét trường hợp (x<0) để có thể phá dấu trị tuyệt đối nên cần loại bỏ nghiệm (x=1) là nghiệm không thỏa mãn. Vậy với trường hợp 2 chỉ thu được nghiệm (x=-6).

Vậy tập nghiệm của phương trình là {6; -6}

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Phương pháp giải:

Các bài toán tìm GTLN và GTNN cần giải bằng phương pháp áp dụng 3 bất đẳng thức cơ bản của giá trị tuyệt đối sau đây:

• (left|fleft(xright)right|ge0forall x). Hệ quả: (left|fleft(xright)right|+kge k) và (k-left|fleft(xright)right|le k) với k là số cho trước. Dấu bằng xảy ra khi (fleft(xright)=0).

• (left|fleft(xright)right|+left|gleft(xright)right|geleft|fleft(xright)right.+gleft(xright)left|right.). Hệ quả: Nếu như biểu thức (fleft(xright)+gleft(xright)=k) (triệt tiêu ẩn x chỉ còn 1 số k xác định) thì (left|fleft(xright)right|+left|gleft(xright)right|ge k). Dấu bằng xảy ra khi (fleft(xright)cdot gleft(xright)ge0).

• (left|fleft(xright)right|-left|gleft(xright)right|leleft|fleft(xright)right.-gleft(xright)left|right.). Hệ quả: Nếu như biểu thức (fleft(xright)-gleft(xright)=k) (triệt tiêu ẩn x chỉ còn 1 số k xác định) thì (left|fleft(xright)right|-left|gleft(xright)right|le k). Dấu bằng xảy ra khi (left(fleft(xright)-gleft(xright)right)cdot gleft(xright)ge0).

Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (K = |2x - 6| + 2025).

Lời giải:

Với mọi số thực x, luôn thu được bất đẳng thức (|2x - 6| ≥ 0).

Cộng hai vế với 2025: (|2x - 6| + 2025 ≥ 2025).

Suy ra (K ≥ 2025).

Dấu "=" xảy ra khi [2x-6=0to2x=6to x=3].

Vậy giá trị nhỏ nhất của K bằng 2025 khi (x = 3.)

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (H=left|3x+5right|-|3x+9|.)

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức (left|aright|-left|bright|leleft|a-bright|) vào bài toán thu được: [H=left|3x+5right|-|3x+9|leleft|left(3x+5right)-left(3x+9right)right|=left|-4right|=4]

Dấu “=” xảy ra khi (-4cdotleft(3x+9right)ge0) hay (xle-3).

Vậy giá trị lớn nhất của H là 4 khi (xle-3).

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (L=left|x-1right|+left|2x+2right|).

Lời giải:

Biến đổi đẳng thức về dạng (left|fleft(xright)right|+left|gleft(xright)right|) sao cho (fleft(xright)+gleft(xright)) triệt tiêu hết ẩn x, chỉ còn lại hằng số để áp dụng bất đẳng thức:

[L=left|x-1right|+2cdotleft|x+1right|][L=left|x-1right|+left|x+1right|+left|x+1right|][L=left|x-1right|+left|-left(x+1right)right|+left|x+1right|]

Ở đây, cần kết hợp 2 bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối:[left|x-1right|+left|-left(x+1right)right|geleft|x-1-left(x+1right)right|=left|-2right|=2left(starright)][left|x+1right|ge0left(starstarright)]

Từ (★) và (★★) suy ra (L=left|x-1right|+left|-left(x+1right)right|+left|x+1right|ge2+0=2) (★★★).

Dấu “=” của bất đẳng thức (★) xảy ra khi (left(x-1right)left(-x-1right)ge0). Dấu “=” của bất đẳng thức (★★) xảy ra khi (left(x+1right)=0). Kết hợp lại thì dấu “=” của bất đẳng thức (★★★) xảy ra khi và chỉ khi (x+1=0) hay (x=-1).

Vậy giá trị nhỏ nhất của L là 2 khi (x=-1).

Một số lỗi thường gặp khi làm bài tập giá trị tuyệt đối

Trong quá trình thực hành và luyện tập các dạng bài toán có giá trị tuyệt đối, học sinh thường mắc phải một số lỗi sai phổ biến dưới đây:

Nhầm lẫn giữa giá trị tuyệt đối và số đối của một số thực

Lỗi sai này xảy ra khi học sinh lầm tưởng rằng lấy khoảng cách nghĩa là đổi dấu của số thực đó. Chẳng hạn, (|-7| = 7) là biểu thức đúng, còn (|-7| = 7) là sai vì giá trị tuyệt đối luôn không âm. Cần ghi nhớ rằng kết quả của phép trị tuyệt đối không bao giờ mang dấu âm.

Bỏ sót trường hợp khi giải bài toán tìm x/giải phương trình

Khi giải bài toán dạng (|f(x)| = g(x)), lỗi phổ biến nhất là chỉ xét (f(x) = g(x)) mà bỏ qua trường hợp (f(x) = -g(x)). Việc thiếu trường hợp dẫn tới giải thiếu nghiệm của phương trình.

Sai dấu khi đổi biểu thức âm trong ngoặc đứng

Khi thực hiện đổi dấu cho biểu thức âm f(x), quy tắc yêu cầu phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong. Ở đây, học sinh sẽ mắc lỗi nếu như chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên. Ví dụ với (x < 2) thì (|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2), nhưng học sinh lại biến đổi thành (-x - 2) dẫn đến kết quả bài toán bị sai.

Quên điều kiểm tra điều kiện phá dấu trị tuyệt đối sau khi giải ra nghiệm

Với phương trình (|f(x)| = g(x)), khi chia 2 trường hợp (fleft(xright)=gleft(xright)) và (-fleft(xright)=gleft(xright)), cần chỉ ra điều kiện của x để có thể phá dấu trị tuyệt đối tương ứng với (fleft(xright)ge0) và (fleft(xright)<0) để có thể đối chiếu sau khi giải ra nghiệm x. Nếu như bỏ sót bước đối chiếu này, bài giải có thể bị thừa ra các nghiệm sai.