Mình cùng nhau nghĩ ra một biểu thức cho F(n) nhé. F(n) biểu thị số hạng thứ n của dãy Fibonacci. Do đó, chúng ta có thể dùng nó để định nghĩa toàn bộ dãy chỉ bằng cách cung cấp F(1) và F(2).
Điều đầu tiên cần lưu ý là nếu G(n) và H(n) là hai dãy Fibonacci, thì F(n)=a•G(n)+b•H(n) cũng là một dãy Fibonacci. Chứng minh: F(n)=a•G(n)+b•H(n)=a•(G(n-1)+G(n-2))+b•(H(n-1)+H(n-2))=(a•G(n-1)+b•H(n-1))+(a•G(n-2)+b•H(n-2))=F(n-1)+F(n-2)
Điều đó có nghĩa là tập hợp tất cả các dãy Fibonacci tạo thành một không gian vector. Và vì bạn chỉ cần 2 số F(1) & F(2) để xác định một dãy Fibonacci, nên số chiều của không gian vector là 2. Dù sao đi nữa, điều đó có nghĩa là nếu bạn có thể tạo ra biểu thức tổng quát của 2 dãy Fibonacci, bạn có thể tìm ra biểu thức của bất kỳ dãy Fibonacci nào.
Hãy lấy dãy Fibonacci F(n): 1, p, 1+p, 1+2p, .... Chúng ta có thể định nghĩa F(n) có một biểu thức tổng quát dễ dàng không? Có, mẹo là nếu chúng ta định nghĩa 1+p là p², thì F(3)=1+p=p², và F(4)=1+2p=p+(1+p)=p+p²=p(1+p)=p•p²=p³, và F(5)=p⁴ và cứ thế. Nói chung, F(n)=pⁿ⁻¹. Bây giờ, với giá trị nào của p thì chúng ta có thể có một dãy Fibonacci đẹp như vậy? Chà, đối với các nghiệm của p²=p+1, tất nhiên rồi! Và các nghiệm là (1±√5)/2.
Vì vậy, chúng ta có hai dãy Fibonacci G(n): 1, φ, φ², …, φⁿ⁻¹ và H(n): 1, (1-φ), (1-φ)², ..., (1-φ)ⁿ⁻¹ trong đó φ=(1+√5)/2, tỷ lệ vàng. Bây giờ chúng ta có hai dãy này, chúng ta có thể dùng chúng làm cơ sở cho không gian vector của chúng ta. Có nghĩa là, bất kỳ dãy Fibonacci nào cũng có thể được biểu diễn bằng hai dãy này.
Ví dụ, nếu F(1)=F(2)=1, và F(n)=a•G(n)+b•H(n), thì F(n)=a•φⁿ⁻¹+b•(1-φ)ⁿ⁻¹. Chúng ta có thể tìm ra a và b từ F(1)=a•φ⁰+b•(1-φ)⁰=a+b=1 và F(2)=a•φ¹+b•(1-φ)¹=aφ+b(1-φ)=1. Giải cho a & b, chúng ta có, b=(φ-1)/(2φ-1)=-(1-φ)/√5. Và a=1-b=φ/√5. Vì vậy, F(n)=φ/√5•φⁿ⁻¹-(1-φ)/√5•(1-φ)ⁿ⁻¹=1/√5[φⁿ-(1-φ)ⁿ].
