Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số tự nhiên hữu hạn hoặc vô hạn thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai. Trong đó, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng phía trước nó với một hằng số không đổi. Hằng số này được gọi với tên là công bội q của cấp số nhân. Có thể hiểu đơn giản là:Ví dụ: Dãy số tự nhiên ((u_n)) với (u_n = 2^n) là một cấp số nhân với số hạng đầu (u_1 = 2) và công bội (q = 2).

Công bội q

q là hằng số hoặc công bội của ((u_n)). Trong đó, công thức tính công bội q như sau: [q = frac{u_{n+1}}{u_n}]Ví dụ:Ta có: [q = frac{u_2}{u_1} = frac{4}{2} = 2]Ta có: [q = frac{u_4}{u_3} = frac{81}{27} = 3]

Số hạng tổng quát

Cách tính số hạng cấp số nhân công thức tổng quát có dạng như sau: (u_n = u_1 cdot q^{,n-1}, ; (n geq 2)).Ví dụ: Cho dãy ((u_n)) thỏa mãn (u_1 = 7,; q = 3). Tính (u_5).Ta có: (u_5 = u_1 cdot q^{4} = 7 cdot 3^4 = 567).

Tổng n số hạng đầu

Tổng n số hạng đầu được được quy định bằng ký hiệu toán học là (S_n). Trong đó, công thức tính số hạng tổng quát (S_n) như sau:( S_n = frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1} = frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}, , (q neq 1). )Ví dụ: Cho cấp số nhân ((u_n)) thỏa mãn ( u_1 = 7, q = 3 ). Tính ( S_{10} ).Ta có: ( S_{10} = frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = frac{7(1 - 3^{10})}{1 - 3} = frac{7(3^{10} - 1)}{2} = 206668. )

Tính chất cấp số nhân

Với (u_n) là một cấp số nhân, từ số hạng thứ 2 thì bình phương của mỗi số hạng sẽ bằng tích của số đứng trước và sau nó, trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân thuộc dãy số hữu hạn.(Leftrightarrow (u_k)^2 = u_{k-1}cdot u_{k+1})Ví dụ: Cho ((u_n)) với công bội (q > 0). Biết (u_1 = 2,; u_3 = 6). Hãy tìm (u_4).Ta có:Từ (1), do ((u_2)^2 > 0) (vì (u_1 > 0,; q > 0)).⇒( u_4 = frac{u_3^2}{u_2} )

Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản

Cùng Trường Việt Anh điểm lại các cách tính cấp số nhân cơ bản qua nội dung tổng hợp dưới đây:

Dạng 1: Nhận biết CSN

Để nhận biết cấp số nhân, học sinh có thể áp dụng phương pháp tính công bội ( q = frac{u_{n+1}}{u_n}, ; forall n geq 1 ). Sau đó kết luận như sau:Ví dụ:Bài 1: Một cấp số nhân có (u_1 = 2) và q = 2, viết 6 số hạng đầu tiên.Theo công thức của cấp số nhân ...

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Để tìm công bội q, học sinh tận dụng kiến thức các tính chất của cấp số nhân và biến đổi. Dưới đây là một số bài toán ví dụ minh họa dễ hiểu mà học sinh có thể tham khảo:Ví dụ:Bài 1: Cho dãy số nhân (u_n) với số hạng đầu (u_1 = 3) và số hạng hai (u_2 = -6). Tính công bội q.Bài 2: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu (u_1 = 2) và số hạng hai (u_2 = 4). Tính công bội q.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Đối với dạng này, học sinh áp dụng công thức tính số hạng tổng quát ( u_n = u_1 cdot q^{n - 1}, , (n geq 2) ) để tìm số hạng cấp số nhân.Ví dụ:Bài 1: Tìm số hạng đầu (u_1) và công bội q của cấp số nhân, biết:[u_4 - u_2 = 72][u_5 - u_3 = 144]Ta biến đổi:[u_1 cdot q^3 - u_1 cdot q = 72][u_1 cdot q^4 - u_1 cdot q^2 = 144][Rightarrowquad u_1 cdot q cdot (q^2 - 1) = 72][u_1 cdot q^2 cdot (q^2 - 1) = 144][Rightarrowquad q = frac{144}{72} = 2 quad Rightarrow u_1 = 12].Như vậy, (u_n) sẽ có số hạng đầu (u_1 = 12) và công bội q = 2.Bài 2: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng thứ ba (u_3 = 8) và số hạng thứ 5 (u_5 = 32). Tính số hạng thứ 10 của (u_n).Ta có: ( q^2 = frac{u_5}{u_3} = 4 Rightarrow q = pm 2 ).Bài 3: Cho dãy số nhân (u_n) với số hạng đầu tiên (u_1 = 3) và công bội q = 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân đó.Từ công thức: ( u_n = u_1 cdot q^{n-1} ) (Leftrightarrow) ( u_5 = u_1 cdot q^4 = 3 cdot 2^4 = 48 ).

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Đối với dạng này, học sinh áp dụng công thức tổng cấp số nhân như sau:[S_n = u_1 + u_2 + dots + u_n = frac{u_1 cdot (1 - q^n)}{1 - q}]Ví dụ:Bài 1: Tính tổng cấp số nhân ((u_n)): S = 2 + 6 + 18 + 13122.Bài 2: Cho dãy số nhân liên tiếp (u_n) với (u_3 =...

Dạng 5: Tìm CSN

Để tìm cấp số nhân chính xác, học sinh cần xác định những thành phần cấu tạo một cấp số nhân bao gồm: (u_1) số hạng đầu và công bội q. Từ đó, suy ra công thức tính số hạng tổng quát.Ví dụ:Bài 1: Cho cấp số nhân (u_n = frac{2}{3^n - 1}) mà (u_n) = 26561 ⇒ (3^n - 1 = 6561) ⇒ n = 9. Tìm số hạng đầu tiên (u_1).( u_1 cdot (1 + q^4) = frac{82}{11} ) và ( u_1 cdot (1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = 11 )⇔ ( u_1 cdot q cdot (1 + q + q^2) = frac{32}{11} ) và ( u_1 cdot (1 + q^4) = frac{82}{11} )⇒ ( frac{1 + q^4}{q cdot (1 + q + q^2)} = frac{82}{39} ) ⇔ ( q = 3 ) hoặc ( q = frac{1}{3} ).Từ đó, số hạng đầu tiên của (u_n) lần lượt là (u_1) = 8211 hoặc (u_1) = 111.Bài 2: Tìm cấp số nhân (u_n) có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và 5 số hạng sau là 62.( S_5′ = u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 = u_1 cdot q + u_2 cdot q + u_3 cdot q + u_4 cdot q + u_5 cdot q = q cdot (u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6) = q cdot S_5 ).Mà ( S_5 = 31 ) và ( S_5′ = 62 ) (Rightarrow q = 2), ( u_1 = frac{S_5 cdot (1 - q)}{1 - q^5} = 1 ).Như vậy, (u_n) sẽ lần lượt là 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân (u_n) có công bội q thỏa mãn điều kiện -1 < q < 1. Cụ thể, công thức như sau: [S_n = u_1 cdot (1 - q^n) cdot (1 - q) = u_1 cdot (q^n - 1) cdot (q - 1)]Ví dụ: 12, 14, 18, 116 là một dạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 12>>>> Có thể bạn quan tâm:

Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Cách tính tổng của cấp số nhân có thể áp dụng theo công thức ( S = frac{u_1}{1 - q} ). Dưới đây là một số dạng bài tập tính tổng cấp số nhân lùi kèm lời giải chi tiết mà học sinh có thể tham khảo.Bài 1: Tính tổng cấp số nhân S = 1 - 13 + 19 - 127 + …B...