Bất đẳng thức Minkowski

Với 2 dãy số thực: a1, a2,…, an và b1, b2,…, bn, ta có:a12+b12 +a22+b22 +...+an2+bn2≥(a1+a2+...+an)2+(b1+b2+...+bn)2Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a1b1=a2b2=...=anbn​​ Quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.

Công thức tổng quát bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski là một loại bất đẳng thức trong đại số tuyến tính. Có hai dạng chính của bất đẳng thức Minkowski là dạng đẳng và dạng không đẳng.

Dạng đẳng

Đối với hai dãy số thực dương $mathrm{a}_1, mathrm{a}_2, ldots, mathrm{a}_{mathrm{n}}$ và $mathrm{b}_1, mathrm{~b}_2, ldots, mathrm{b}_{mathrm{n}}$, ta có bất đẳng thức Minkowski dạng đẳng như sau:$sqrt{sum_{i=1}^nleft(a_i+b_iright)^p} leq sqrt{sum_{i=1}^n a_i^p}+sqrt{sum_{i=1}^n b_i^p}$Trong đó, $mathrm{p}$ là một số thực dương. Bất đẳng thức này được gọi là dạng đẳng vì khi hai dãy số $mathrm{a}_{mathrm{i}}$ và $mathrm{b}_{mathrm{i}}$ giống nhau, ta có dấu bằng. Bất đẳng thức Minkowski dạng đẳng là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Minkowski dạng không đẳng.

Dạng không đắng

Đối với hai dãy số thực dương $mathrm{a}_1, mathrm{a}_2, ldots, mathrm{a}_{mathrm{n}}$ và $mathrm{b}_1, mathrm{~b}_2, ldots, mathrm{b}_{mathrm{n}}$, ta có bất đẳng thức Minkowski dạng không đẳng như sau:$sum_{i=1}^nleft(a_i+b_iright)^p geq sum_{i=1}^n a_i^p+sum_{i=1}^n b_i^p$Trong đó, p là một số thực dương. Bất đẳng thức này cho ta một quan hệ giữa tổng mũ của tổng hai số và tổng mũ của từng số. Đây là hai dạng chính của bất đẳng thức Minkowski được sử dụng trong các bài toán liên quan đến đại số tuyến tính và thống kê.

Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki

Đề bài

Bất đẳng thức Mincôpxki $: sqrt{a^2+b^2}+sqrt{c^2+d^2} geq sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}, forall a, b, c, d in R$ (1)Chứng minh: $(1) Leftrightarrow sqrt{left(a^2+b^2right)left(c^2+d^2right)} geq a c+b d$ (luôn đúng)

Hướng dẫn giải

Như vậy áp dụng BĐT (1) để chứng minh bài 1 như sau:$mathrm{VT}=sqrt{left(x+frac{y}{2}right)^2+left(frac{sqrt{3}}{2} yright)^2}+sqrt{left(-x-frac{z}{2}right)^2+left(frac{sqrt{3}}{2} zright)^2} geq sqrt{left(frac{y}{2}-frac{z}{2}right)^2+left(frac{sqrt{3}}{2} y+frac{sqrt{3}}{2} zright)^2}=mathrm{VP}$

Các lưu ý khi áp dụng bất đẳng thức để giải toán

- Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.- Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển, quy nạp, phản chứng,…- Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụn...