Vted giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh một số Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz được trích từ Combo X

Dành cho học sinh 2K5 phục vụ trực tiếp kì thi THPT quốc gia môn Toán do thầy Đặng Thành Nam biên soạn. Hy vọng bài viết này, giúp ích nhiều cho quý thầy cô giáo và các em học sinh.

Các em học sinh hãy cmt bên dưới bài viết này về các công thức mà các em cần công thức tính nhanh, để thầy biên soạn và cập nhật cho các em nhé!

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1:CÁCH XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN OXYZBài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz.Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây: [BC.overrightarrow {IA} + CA.overrightarrow {IB} + AB.overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 ]Chuyển qua toạ độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh toạ độ điểm I như sau:[left{ begin{gathered} {x_I} = dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill {y_I} = dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill {z_I} = dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill end{gathered} right..]

>>Chứng minh đẳng thức này bạn đọc xem tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/dang-thuc-vecto-lien-quan-den-tam-noi-tiep-tam-giac-4823.html

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với toạ độ các đỉnh $A(1;1;1),B(4;1;1),C(1;1;5).$ Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$

A. $I(-2;-1;-2).$B. $I(2;-1;2).$C. $I(2;1;2).$D. $I(1;2;2).$Lời giải. Ta có $BC=5, CA=4, AB=3$.Do đó[left{ begin{gathered} {x_I} = dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} = dfrac{{5.1 + 4.4 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 2 hfill {y_I} = dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} = dfrac{{5.1 + 4.1 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 1 hfill {z_I} = dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} = dfrac{{5.1 + 4.1 + 3.5}}{{5 + 4 + 3}} = 2 hfill end{gathered} right..]Vậy $boxed{I(2;1;2){text{ (C)}}}.$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A(2;2;1),Bleft( -dfrac{8}{3};dfrac{4}{3};dfrac{8}{3} right).$ Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $(AOB)$ có phương trình là

A. $dfrac{x+1}{1}=dfrac{y-3}{-2}=dfrac{z+1}{2}.$C. $dfrac{x+dfrac{1}{3}}{1}=dfrac{y-dfrac{5}{3}}{-2}=dfrac{z-dfrac{11}{6}}{2}.$B. $dfrac{x+1}{1}=dfrac{y-8}{-2}=dfrac{z-4}{2}.$D. $dfrac{x+dfrac{2}{9}}{1}=dfrac{y-dfrac{2}{9}}{-2}=dfrac{z+dfrac{5}{9}}{2}.$

Lời giải.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 2XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁCTa đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau: Ta biết được rằng [R=frac{abc}{4S},]trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác.Áp dụ...

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 7

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{{{u}_{1}}}({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}),overrightarrow{{{u}_{2}}}({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}).$

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

$overrightarrow{u}=frac{1}{left| {{u}_{1}} right|}.overrightarrow{{{u}_{1}}}pm frac{1}{left| {{u}_{2}} right|}.overrightarrow{{{u}_{2}}}=frac{1}{sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} right)pm frac{1}{sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} right).$

Chi tiết có hai phân giác:

Nếu $overrightarrow{{{u}_{1}}}overrightarrow{{{u}_{2}}}>0Rightarrow overrightarrow{u}=frac{1}{left| {{u}_{1}} right|}.overrightarrow{{{u}_{1}}}+frac{1}{left| {{u}_{2}} right|}.overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $overrightarrow{u}=frac{1}{left| {{u}_{1}} right|}.overrightarrow{{{u}_{1}}}-frac{1}{left| {{u}_{2}} right|}.overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

Nếu $overrightarrow{{{u}_{1}}}overrightarrow{{{u}_{2}}}>0Rightarrow overrightarrow{u}=frac{1}{left| {{u}_{1}} right|}.overrightarrow{{{u}_{1}}}+frac{1}{left| {{u}_{2}} right|}.overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $overrightarrow{u}=frac{1}{left| {{u}_{1}} right|}.overrightarrow{{{u}_{1}}}-frac{1}{left| {{u}_{2}} right|}.overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

>>Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A(1;1;-1).$

Có véctơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{{{u}_{1}}}(1;-2;2),overrightarrow{{{u}_{2}}}(3;-4;0)Rightarrow overrightarrow{{{u}_{1}}}overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

$overrightarrow{u}=frac{1}{left| overrightarrow{{{u}_{1}}} right|}.overrightarrow{{{u}_{1}}}+frac{1}{left| overrightarrow{{{u}_{2}}} right|}.overrightarrow{{{u}_{2}}}=frac{1}{3}left( 1;-2;2 right)+frac{1}{5}left( 3;-4;0 right)=left( frac{14}{15};-frac{22}{15};frac{2}{3} right)//(7;-11;5).$

Vậy đường thẳng cần tìm là $frac{x-1}{7}=frac{y-1}{-11}=frac{z+1}{5}.$

Chọn đáp án A.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:left{ begin{align}& x=1+3t & y=1+4t & z=1end{align} right..$ Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;1;1)$ và có véctơ chỉ phương $overrightarrow{u}(-2;1;2).$ Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $Delta $ có phương trình là

Lời giải chi tiết. Có $A(1;1;1)=dcap Delta .$ Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}(3;4;0).$ Đường thẳng $Delta $ có véctơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}(-2;1;2).$ Có $overrightarrow{{{u}_{1}}}overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0Rightarrow left( overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right)>{{90}^{0}}.$Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $Delta $ sẽ đi qua $A$ và có véctơ chỉ phương [overrightarrow{u}=frac{1}{left| overrightarrow{{{u}_{1}}} right|}overrightarrow{{{u}_{1}}}-frac{1}{left| overrightarrow{{{u}_{2}}} right|}overrightarrow{{{u}_{2}}}=frac{1}{5}left( 3;4;0 right)-frac{1}{3}left( -2;1;2 right)=left( frac{19}{15};frac{7}{15};-frac{2}{3} right)//(19;7;-10).]Đối chiếu các đáp án chọn D.CÔNG THỨC TÍNH NHANH 8:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(alpha ):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;(beta ):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0({{d}_{1}}ne {{d}_{2}})$ là $d((alpha ),(beta ))=frac{left| {{d}_{1}}-{{d}_{2}} right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.$

Mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng $(alpha ):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;(beta ):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0({{d}_{1}}ne {{d}_{2}})$ là $ax+by+cz+frac{{{d}_{1}}+{{d}_{2}}}{2}=0.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 10:

Tìm toạ độ điểm $I$ thoả mãn đẳng thức véc tơ: ${{a}_{1}}overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{a}_{2}}overrightarrow{I{{A}_{2}}}+...+{{a}_{n}}overrightarrow{I{{A}_{n}}}=overrightarrow{0}.$

Điểm $I$ được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A}_{1}$,...,${A}_{n}$.Toạ độ điểm $I$ được xác định bởi công thức:(begin{array}{l} {x_I} = dfrac{{{a_1}{x_{{A_1}}} + {a_2}{x_{{A_2}}} + ... + {a_n}{x_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}} {y_I} = dfrac{{{a...

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận góc trong hệ toạ độ Oxyz

>>Tìm nhanh phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳngXem tại bài viết này: http://vted.vn/tin-tuc/tim-phuong-trinh-hinh-chieu-vuong-goc-cua-mot-duong-thang-len-mat-phang-hinh-oxyz-4368.html>>Các bài toán về tam giác trong không gianXem tại bài viết này: http://vted.vn/tin-tuc/tong-hop-tat-ca-cac-bai-toan-ve-tam-giac-trong-hinh-giai-tich-khong-gian-oxyz-bien-soan-thay-dang-thanh-nam-3296.htmlHẹn gặp quý thầy cô cùng các em trong bài viết Công thức giải nhanh Hình giải tích Oxyz (phần 2)

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max