Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Trong khoá học PRO X các em đã được tiếp cận cách xác định số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối dựa trên cách suy đồ thị và bảng biến thiên. Ở bài viết này trình bày cho các em công thức tính nhanh:Nội dung lý thuyết và ví dụ các bài toán trong bài viết này được trình bày tại khoá học vận dụng cao PRO XMAX

Nhận xét:

Số điểm cực trị của hàm số $left| f(x) right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ và số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình $f(x)=0.$ Hay cách khác bằng tổngsố điểm cực trị của hàm số $f(x)$.

Số điểm cực trị của hàm số $fleft( left| x right| right)$ bằng $2a+1,$ trong đó $a$ là số điểm cực trị dương của hàm số $f(x).$

Đặc biệt với hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$ Khi đó hàm số $y=left| f(x) right|$ có $n$ điểm cực trị

Ví dụ 1: Cho hàm số $fleft( x right)=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+left( 3m-2 right)x-m.$ Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số $gleft( x right)=left| fleft( x right)+2 right|$ có $5$ điểm cực trị làA. $10.$B. $11.$C. $9.$D. $7.$Giải. Ta có $mat...

$n=5Leftrightarrow {{f}_{cd}}.{{f}_{ct}}<0$ và tương đương với $f(x)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt

$n=3Leftrightarrow {{f}_{cd}}.{{f}_{ct}}ge 0.$

Các bài toán biện luận số điểm cực trị của hàm tuyệt đối dạng |u(x)| ta đưa về xét dấu đồng thời của u(x) và u'(x). Chi tiết xem ví dụ:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m in left[ { - 200;200} right]$ để hàm số $fleft( x right)=left| {{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-mleft( x+3 right)+6 right|$ có đúng $3$ điểm cực trị?

Giải. Xét [uleft( x right)={{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-mleft( x+3 right)+6Rightarrow {u}'left( x right)=4{{x}^{3}}-14x-m][Rightarrow uleft( x right)=0Leftrightarrow m=gleft( x right)=dfrac{{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+6}{x+3};{u}'left( x right)=0Leftrightarrow m=hleft( x right)=4{{x}^{3}}-14x]Ta có bảng biến thiên của $gleft( x right),hleft( x right)$ như sau: Hàm số [fleft( x right)=left| uleft( x right) right|] có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khiTH1 : ${u}'left( x right)$ có 1 lần đổi dấu và $uleft( x right)$ có 2 lần đổi dấu $Rightarrow min left{ -200,...,-139,11,...,200 right}.$TH2 : ${u}'left( x right)$ có 3 lần đổi dấu và $uleft( x right)$ có 0 lần đổi dấu $Rightarrow min left{ -10,...,-7 right}.$Vậy $min left{ -200,...,-139,-10,...,-7,11,...,200 right}.$ Có tất cả $left( -139-left( -200 right)+1 right)+left( -7-left( -10 right)+1 right)+left( 200-11+1 right)=256$ giá trị nguyên của $min left[ -200;200 right]$ thoả mãn. Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hàm số $fleft( x right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=left| fleft( {{x}^{2}}+m-5 right) right|$ có ít nhất 7 điểm cực trị?

A. $7.$B. $6.$C. $3.$D. $8.$Giải. Ta có $fleft( x right)=0Leftrightarrow x=2;x=2pm sqrt{3}$ và ${f}'left( x right)=3{{x}^{2}}-12x+9Rightarrow {f}'left( x right)=0Leftrightarrow x=1;x=3$Xét $uleft( x right) = fleft( {{x^2} + m - 5} right) Rightarrow u'left( x right) = 2x.f'left( {{x^2} + m - 5} right) Rightarrow u'left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 0 hfill \ {x^2} + m - 5 = 1 hfill \ {x^2} + m - 5 = 3 hfill \ end{gathered} right.$Và $uleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} {x^2} + m - 5 = 2 hfill \ {x^2} + m - 5 = 2 - sqrt 3 hfill \ {x^2} + m - 5 = 2 + sqrt 3 hfill \ end{gathered} right.$Hàm số $gleft( x right)={{x}^{2}}+m-5$ có bảng biến thiên như sau:Ta cần tìm điều kiện để tổng số lần đổi dấu của $uleft( x right)$ và ${u}'left( x right)$ ít nhất bằng 7.Tức tổng số lần đổi dấu của $gleft( x right)-1;gleft( x right)-3;gleft( x right)-2;gleft( x right)-left( 2-sqrt{3} right);gleft( x right)-left( 2+sqrt{3} right)$ ít nhất bằng 6.Vậy $m-5<2Leftrightarrow m<7Rightarrow min left{ 1,...,6 right}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x)$ có $f(0)=0$ và ${f}'(x)$ là đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=left| f({{x}^{3}})+x right|$ là

Xét $u=f({{x}^{3}})+x$ có ${u}'=0Leftrightarrow 3{{x}^{2}}{f}'({{x}^{3}})+1=0Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}})=-dfrac{1}{3{{x}^{2}}}.$ Đặt $t={{x}^{3}}Leftrightarrow x=sqrt[3]{t},$ phương trình trở thành: [{f}'(t)=-dfrac{1}{3sqrt[3]{{{t}^{2}}}}(1).] Xét hàm số $y=...

Ví dụ 8: Cho hàm số bậc ba $y=fleft( x right).$ Biết $fleft( -2 right)=0$ và ${f}'left( x right)$ có bảng xét dấu như sau:Hàm số $gleft( x right)=left| 15fleft( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Giải. Xét $uleft( x right)=15fleft( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}};uleft( 0 right)=15fleft( -2 right)=0$Và ${u}'left( x right)=15left( -4{{x}^{3}}+4x right){f}'left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 right)-60{{x}^{5}}+60x$$=60xleft( -{{x}^{2}}+1 right)left[ {f}'left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 right)+1+{{x}^{2}} right]=60xleft( -{{x}^{2}}+1 right)left[ {f}'left( -{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-1 right)+1+{{x}^{2}} right]$Vì $-{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-1le -1,forall xRightarrow {f}'left( -{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-1 right)ge 0Rightarrow {f}'left( -{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-1 right)+1+{{x}^{2}}>0$Do đó ${u}'left( x right)=0Leftrightarrow xleft( -{{x}^{2}}+1 right)=0Leftrightarrow x=0;x=pm 1.$Bảng biến thiên:Suy ra $uleft( x right)$ có 2 lần đổi dấu và có 3 điểm cực trị nên $gleft( x right)=left| uleft( x right) right|$ có tất cả 5 điểm cực trị. Chọn đáp án B.Các em xem lại Bài giảng Số điểm cực trị hàm trị tuyệt đối khoá VDC XMAX.

Ví dụ 9: Cho hàm số bậc ba $y=fleft( x right)$có đồ thị của hàm đạo hàm ${f}'left( x right)$ như hình vẽ và $fleft( b right)=1$.

Số giá trị nguyên của $min left[ -5;5 right]$ để hàm số $gleft( x right)=left| {{f}^{2}}left( x right)+4fleft( x right)+m right|$ có đúng 5 điểm cực trị là

A. $8$.B. $10$.C. $9$.D. $7$.Giải. Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x right)$:Xét hàm số $hleft( x right)={{f}^{2}}left( x right)+4fleft( x right)+m$.Ta có ${h}'left( x right)=2{f}'left( x right)fleft( x right)+4{f}'left( x right)=2{f}'left( x righ...

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất