Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTSTPhương pháp giảiTrong đó u= u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y= f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

Dạng 3.1. Hàm đa thức

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tích phân Lời giải:Đáp án: AĐặt t = 1 − x => −dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 0

Dạng 3.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tích phân Lời giải:Đáp án: AĐặt t = x+ 1 => dt = dx. Đổi cận: x = 0 => t = 1; x = 1 => t = 2Ví dụ 2. Tích phân Lời giải:Đáp án: DĐặt Đổi cận:Khi đóVậy Ví dụ 3. Tính tích phân . Khi đó S = a + 2b bằng: Lời giải:Đáp án: DSuy raTrong Đặt t = x + 1 => dt =dx. Đổi cận: x = 1 => t = 2; x = 2 => y = 3. Khi đóVí dụ 4. Tích phân Lời giải:Đáp án: DĐặt Đổi cận Ví dụ 5. Cho . Khi đó (2a + b) bằng Lời giải:Đáp án: BTa có: x3 + 3x2 − x−3 = (x+1)(x2 + 2x − 3) ĐặtĐổi cận x = 0 => t = 3; x = 1 => t = 6Khi đó

Dạng 3.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tích phân Lời giải:Đáp án: AĐặt Đổi cận x = 0 => t = 1; x = 1 => t = √Ví dụ 2. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt x = sintDo đóVí dụ 3. Tích phân Lời giải:Đáp án: AĐặt Suy ra: Đổi cận Ví dụ 4. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt t = x3 => dt = 3x2dxĐổi cận: x = 0 => t = 0; x = 1 => t = 1 ĐặtĐổi cận t = 0 => u = 0; t = 1 Ví dụ 5. Tính Lời giải:Đáp án: D- Tính J:Đặt t = √(x2 + 1)Suy ra:- Tính K: Đặt t = √(x2 + 1)Suy ra:Vậy:

Dạng 3.4. Hàm lượng giác

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tính Lời giải:Đáp án: BĐặt: t = √(1 + 3 cosx)Khi đóVí dụ 2. Tính A. 2ln2 − 1 B.ln2 − 1 C. ln2 − 2 D.ln2+ 1Lời giải:Đáp án: AĐặt: t = 1 + cosxKhi đóVí dụ 3. Tính Lời giải:Đáp án: BĐặt t = √(cos2x + 4sin2x) => t2 = cos2x + 4sin2xDo đóVậyVí dụ 4. A. 2 − 3ln 2 B. 1 + 3ln2 C. 3 + ln2 D. 3 − ln2Lời giải:Đáp án: ATa có:Cho nên:Đặt t = 1 + sinxVậyVí dụ 5. Tích phân Lời giải:Đáp án: DCách 1Đặt t = cos2 + 1 => dt = −2sinxcosx.dxĐổi cận Cách 2Đặt t = cosx dt = −sinx dx nên −dt = sinx.dx Đổi cận

Dạng 3.5. Hàm mũ, logarit

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Cho A. I = cos1 B. I = 1 C. I = sin1 D. Đáp án khácLời giải:Đáp án: BĐặt Đổi cận: Khi đó:Ví dụ 2. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt Đổi cận: Khi đó:Ví dụ 3. Tính Lời giải:Đáp án: DĐặt Đổi cận: x = 0=> t = 0; x = ln2 => t = 1. Tính Vậy Ví dụ 4. Tính A. 2ln 3+2 B. 2ln2 + 3 C. 2ln3 − 1 D. 3ln2 − 1 Lời giải:Đáp án: CĐặt t = √(ex − 2) => t2 + 2 = ex => exdx = 2tdtVí dụ 5. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt: t = √(3ex − 4)Đổi cận: với Tính Đặt: Vậy :

Dạng 3.6. Tích phân

1. Phương pháp giảiChứng minh:• Đặt: b − x= t, suy ra x = b − t và dx = −dt, • Do đó: Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tính A. 0 B.1 C. 2 D. 3 Lời giải:Đáp án: CĐặt:=> dt = −dx; x = 0 Nhưng tích phân không phụ thuộc và biến số, cho nên:Lấy (1) + (2) vế với vế ta có:Ví dụ 2. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt=> dx = −dt; x = 0 => f(x)dx = log2(1 + tanx)dx Hay:Vậy:Ví dụ 3. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt Cộng (1) và (2) ta có:

Dạng 3.7. Dạng khác

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tính Lời giải:Đáp án: AĐặt lnx = t, ta có .Đặt : u = ln( 1+ t2) ; dv = dtTừ đó có: Tiếp tục đặt t = tanu, ta tính được Thay vào (*) ta có Ví dụ 2. Tính Lời giải:Đáp án: D+ Tính Đặt t = √(1 + lnx) => t2 = 1 + lnx; Khi x = 1 => t = 1...